セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

「田の字表」とは何か?
 「田の字表」の本ができたので,
 しばらく「田の字表」について思いつくままに書いてみようと思います。

 まず,「田の字表」とは何か,です。

 「 田 」の字のように,2×2の表を「田の字表」といいます。

 田の字の基本的なものについて説明します。理解しやすいように小学生の問題で。

「問題  5個で300円のりんご1個の値段はいくらでしょう。」

 これを田の字に整理すると

x円300円
1個5個

 になります。

 整理するポイントは,
1,横は単位をそろえる(上の例でいえば,下の単位は「個」,上の単位は「円」です)
2,左下の蘭は1
3,上下は対応する値。(1個x円なので,1個の上がx円,5個300円なので5個の上が300円)

 これをたすきに(斜め同士)かけ算してイコールで結びます。

 上の田の字だと,5x=1×300 
 この方程式を解けば x=60 で 答え 60円 が 求められます。

 かけ算なのかわり算なのか迷うことはありません。表に整理し,それで方程式を作り解くだけ。それが田の字表の基本です。

 これだけのことで,速度,圧力,密度,単位の換算(45分は何時間かなど),オームの法則などを解くことができます。

 そして,この田の字表をちょっと発展させると,濃度の問題,湿度の問題などの百分率,そして,定比例の法則,三平方の定理,相似などで用いられる比の問題も解くことができます。

 また,反比例も。


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田の字,Yojiのオリジナルなところ
 生徒に,田の字で説明すると,「田の字ってすごいね。Yojiさんが考えたの?」と訊かれることがときどきあります。

 ぼくの答えは「全部じゃないけどね」です。

 ここに,先人から学んだ部分,そしてぼくが自分で考え出した部分を書き出してみます。

 田の字に整理するのは,ぼくが考えたわけではありません。もうずっと前のことで,何から学んだのか忘れてしまいました。小学高学年のプリント本だったと思います。

 それでは,

┌─────┬─────┐
│単位あたり │・全体量  │
├─────┼─────┤
│   1    │ いくつ分 │
└─────┴─────┘
 のように整理すること,そして,どの部分が「?」になっているかで,かけ算かわり算を判断させるようになっていました。

 それはそれでとても便利で,長い間使っていました。

 さて,後日説明しようと思いますが,この田の字表は,「比」の問題にも使えます。
 それで,ぼくは比の問題をいったん田の字に整理し,それを比例式にし,内項の積=外項の積 で方程式をつくり,解かせるということで教えていました。

 すぐに比例式にするよりも,田の字に整理する方がとても分かりやすいのです。

 つまり,
①田の字に整理 → ②比例式にする → ③方程式をつくる → 解く

 そのうちにある日ひらめいたのです。

 わざわざ比例式にすることなく,田の字からすぐに方程式にすることはできないだろうか,と。

 ここからがぼくのオリジナルです。(簡単なことなので,だれかがすでに考えていたかもしれませんが,とにかくだれから教わることもなく考えたのは事実です)

 田の字を斜め同士かけてイコールで結べばすぐに方程式ができるということが分かったのです。

 そして,生徒に教えていると,それは比例式に直して方程式を作るよりもとても楽にできることが分かったのです。
 比例式の場合,内項の積=外項の積 で方程式を作りますが,どれとどれをかければいいのか,よく間違えるのです。それが田の字だととても楽にできるのです。
 田の字の真ん中にかけ算の「×」をかいてしまえばどれとどれをかけるのか一目瞭然なのです。

 比例式は,数学,理科の問題で広く使われるすぐれものです。分かる人は分かると思います。比例式のすぐれているところが。

 田の字は比例式を少し変えただけのものです。だから,比例式で解ける問題はすべて解くことができます。その応用範囲はとても広いです。

 比例式にせずに田の字から方程式が作れることに気づいてあと,何かを考えるときに田の字で解けないだろうか,と考えていました。するといろいろ出てきました。それに関しては少しずつ書きます。
 その成果をまとめたのが今度の本です。

 ぼくほ,田の字は,数学(算数),理科を教えるのにとても便利だと思っています。応用範囲がとても広く,そして楽にできる。これはぜひ普及させたいです。

中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる!

百分率も「田の字」で
  田の字の基本は,次の通りです。

┌─────┬─────┐
│単位あたり │・全体量  │
├─────┼─────┤
│   1    │ いくつ分 │
└─────┴─────┘

 だから,8mは2mの何倍になりますか? では

┌──┬──┐
│2m │8m │
├──┼──┤
│1倍 │x倍 │
└──┴──┘

 で求めることができます。

 さて,百分率とは,基準を100としたときの割合です。単位当たり量は1ですから,それを100倍したものです。

 だから,8mは2mの%になりますか? では

┌────┬───┐
│  2m  │ 8m │
├────┼───┤
│ 100% │ x% │
└────┴───┘

 になり,これも斜めにかけてイコールで結べば,方程式ができます。

 2x=8×100, x=400 で400%

 これに気づいたときもうれしかったです。
 もちろん,これも比例式で解けます。ただ,ぼくは比例式を使うようになったのは高校に上がってからで,百分率の問題を比例式で解いたことがなかったように思います。

 百分率を比例式で解かせる教師はほとんどいないのではないでしょうか。

 これができるようになったら,濃度,湿度の問題がとても楽に解けるようになります。

 濃度の公式は,
 濃度(%)=(溶質の質量/溶液の質量)×100 ですね。これを覚えなければならなかった。

 田の字表だと,パーセントのときは,左下は100%だよ。横は同じ単位だから右下も%,そして対応するように上をうめる。100%を基準にするから・・・・

溶液の質量,溶質の質量
100%, 濃度(%)

 のようになります。(PCで罫線はめんどうなので省略します。もう分かりますね)

 さて,濃度を求める問題なら,公式にあてはめれば求めることができます。


 しかし,濃度は与えられていて,溶質や溶液,溶媒の質量を求める問題では大変です。

 例えば「濃度15%の食塩水300gがある。それに食塩はいくら溶けているか」という問題では,

 15=(x/300)×100 のように,公式に代入し,それを解かなければいけません。分数が出てくるのでちょっと戸惑います。

 もっと難しいのは,
「30gの食塩を用いて,濃度15%の食塩水を作るには,水を何gいれればいいか」

 では,15=(30/x+30)×100 になります。分母にxがきた。どうしよう,と生徒はたいへんとまどいます。

 でも,田の字表だと

30g,  x+30(g)
100%,  15%

これを方程式にすると
100(x+30)=30×15

 どうですか。分数が出てきません。展開して移項してと,簡単に方程式が解けます。

 自画自賛になりますが,田の字はとても楽なのです。だから公式を覚える必要もないのです。

 公式以上に理解しやすいです。田の字に整理するときに,基準を100とするというように対応する値を考えるからです。

中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる!

比も田の字で
 比も田の字で解くことができます。

 例えば,姉と妹で,ミルクを3:2に分けて飲むとします。妹が100ミリリットル飲むとすると,妹はいくらになりますか。

(量) x,100
(比) 3,2

 たすきにかけて 2x=3×100, x=150ミリリットル

 たぶんみなさんは比例式で解いているのでしょうね。

 3:2=x:100

 内項の積=外項の積 で
 2x=3×100

 同じ方程式になりました。

 答えももちろん同じになるので,どちらのやり方でもかまいません。

 しかし,田の字の方がかなり楽なのです。

 3:2=x:100
 これを 
 3:2=100:x にしてはいけませんね。 
 
 3とx,2と100が対応していなければなりません。

 比例式の場合は,前項と前項,後項と後項が対応するように注意するということです。これは慣れるとなんということないのですが,中学生の場合間違えることが多いです。離れすぎているのです。

 田の字の場合,

 たてを対応する値とすればいいのですから,すぐにできます。

 左側は姉,右側は妹ということで注意すればいいのです。

   (姉)(妹)
(量) x,100
(比) 3,2


 また,
 内項の積=外項の積 が慣れるまでは大変です。式の展開のときは,順序よくかけていたのに,今度は外側どうし,内側どうしとなるのですから。

 田の字だとななめにかければいいということでやってきているので,楽にできます。

 中学3年生の学年末テストがありました。相似の問題もかなり出ると予想されました。
 学校では,ふつうの比例式の解き方教えています。
 あるS子さんはあるプリントをやっていたのですが,ほとんどが間違い。それを習いにきたので,田の字でもやり方を教えました。すると楽々に解いて全問正解。誇大広告のようですが,本当です。

 ぼくは比例式が好きで数学の問題はよく比例式を使ってやっていました。もうとてもとても慣れています。それに比べると田の字はまったく新しい解き方です。

 しかし,最近は整理するときに,田の字でやることが多くなっています。頭の整理にもなるのです。

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小学生の田の字表
 小学生でも田の字は使えます。しかし,方程式にもっていくのはやめています。簡単な方程式なので少し学習すればできないわけではありません。一度させたことがあります。苦労していました。なんとかできるようにはなったのですが。

 それで小学生には無理はせず,田の字に整理をさせ,全体量が「?」ならかけ算,1当たり量,幾つ分が「?」ならわり算というような教え方をします。もちろん,もっとていねいにですが。

 横は単位をそろえる,上下は対応する値ということをしっかりできるようにすれば,小学生でも田の字は整理できますし,整理する中で文の意味も理解するようになります。

 さて,小学6年では「比」そして「比例式」が出てきます。簡単な問題です。
 例えば,1:2=5:x 

 前項,左辺が1,右辺が5 5倍されている。
 だから,後項の2を5倍して,x=10

 それを田の字にすると簡単です。

1,2
5,x

 左から右に2倍されているから,5の2倍で x=10

4,12
x,6

 左は右を3でわっているので,x=6÷3=2

 比例式に比べると,対応関係が簡単に見分けられるのです。教えていても楽です。

 このやり方は,方程式にするよりもとても楽です。だから,中学生でもこのやり方でできる問題はこれでやったらいいです。

しかし,

2:3=5:x のように,5/2倍と分数になるとめんどうです。そういうのは,方程式にもっていったほうが楽です。

 方程式は何にでも使えます。だから中学生には方程式でさせているのです。

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曲の字表
 田の字表の変形,曲の字表について説明します。

 曲の字表とは,2×3の表です。曲の字には角が出ていますが似ていますね。

 銅と酸素が結びつく比は4:1。だから酸化銅は5.

 銅:酸素:酸化銅=4:1:5 になります。

 銅8gを加熱したら何gの酸化銅ができるか。

8gxgyg
4 15

 真ん中の列を指でかくすと

8gyg
4 5



 となり,それを田の字表とみなして解けばいいのです。

4:1:5=8:x:y

 の解き方を説明するよりとても楽です。

 60°,30°の直角三角形の辺の比は

1:2:√3 です。三平方の定理です。

 斜辺が5cmの場合他の辺を求めるには,

x,5,y
1,2,√3

 を解きます。中学生もすぐに理解してくれます。

曲の字表の命名
 昨日は,「曲の字表」について書きました。

 この「曲の字表」という名にした経過を書きます。いや,とても簡単なんです。

 田の字は,ぼくが参考にした本では,「直積表」となっていました。かたい感じです。それでもそれを使っていたのですが,生徒が「ああ,あの田んぼの表でしょう」などというものですから,こちらの方が軽い感じでいいな,と思い,「田の字」にしたのです。

 アマゾンで「田の字」を入力すると,

はんば 正幸 (著) 田の字の解き方―算数の文章題が簡単に解ける (単行本)

 というのがあります。ぼくはもっていない(古本で3,000円なので)のですが,「算数」とあるので,小学生用でしょう。

 いずれにしても「田の字」というのは,だれでも考えそうな名前です。

 さて,田の字の発展版として,2×3の表が出てきました。それに名前をつけようと思ったのですが,すぐには思いつきません。2×2は「田の字」ですから,2×3も何かの字にしたいと思いました。

 そこで使ったのが,コンピュータの「手書き入力」です。マウスをつかって,2×3の表を作ると,その候補字の中に「曲」があったのです。2本の角が出てはいますが,2×3の表になっています。迷わずそれを採用しました。

田の字表に☆5つ
拙著「中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる! 」にカスタマーレビューが書き込まれました。それも星5つ。ヒカリさん,ありがとうございます。

田んぼの田の田の字の表, 2009/1/13
By ヒカリ (埼玉県桶川市)

田の字表は非常に有効なツールであると感じました。
比や割合など小学生にもわかる説明ができて助かっております。

カスタマーレビュー

化学反応の質量は,曲の字で
 きょうも,曲の字の宣伝として,昨日の授業を紹介します。

 入試予想問題から。理科です。

問題,銅粉をステンレス皿にそれぞれ,0.4g,1.2g,1.6g,2.0gはかり取り,よくかき混ぜながら加熱したところ,銅はすべて酸化銅に変化した。表は,銅の質量と加熱後に生じた酸化銅の質量の関係を表したものである。

( ここでは,銅0.4gから酸化銅が0.5gになることだけ示しておきます。)

問4,銅粉12.0gをステンレス皿に取って加熱したところ,一部が反応せず,加熱後の質量をはかったところ14.5gであった。ステンレス皿の中には,反応していない銅は何g残っていたか。答えなさい。



 化学反応で,質量を問う問題では,曲の字表を利用する。
(空欄の曲の字を黒板に描く)
┌──┬──┬──┐
│*  │ * │ * │
├──┼──┼──┤
│*  │ * │ * │
└──┴──┴──┘
( * は空欄です)

Cu+O2→2CuO だから,銅を左,酸素を真ん中,酸化銅を右に書くよ。

 銅の反応は何対何になるか?

「4対1」
(入試直前で覚えている子も少なくない)

 そう,銅と酸素は4:1になる。これは覚えていた方がいいけど,覚えなくてもいい。こういうのは,問題で示されている。

 表から,銅0.4gから酸化銅が0.5gになっていることが分かるね。これを使えばいい。
 簡単にしよう。どうなる?

「 4:5」

 そうだ。この4は下の欄の左に書く。5はどこに書く?

「下の右」

 そう。

┌──┬──┬──┐
│*  │ * │ * │
├──┼──┼──┤
│ 4  │ * │ 5 │
└──┴──┴──┘

 すると,下の真ん中はどうなる?

 「1」

 そう1だ。
(「なぜ,そうなるの?」という声も。)

 銅4から酸化銅が5できる。なぜか。
「酸素がくっついたから」

 そう。いくらくっついたんだ?
「あ,1だ。」(納得の表情)

┌──┬──┬──┐
│*  │ * │ * │
├──┼──┼──┤
│ 4  │ 1 │ 5 │
└──┴──┴──┘

 さて,銅粉12.0gが14.5gになった。いくら増えた?

「2.5g」

 そうだ。これは何の重さだ?
「酸素」

 そう酸素だ。だから上の欄の真ん中に2.5gを書く。
 では,上の左を求めてみよう。分からないからxとする。

「ここは,12.0じゃないの?」の声。

 ここは12.0じゃないよ。銅がすべて酸化銅になったわけではない。すべて変わったのではないから,この12.0はここでは使えない。

┌──┬──┬──┐
│ x │ 2.5 │ * │
├──┼──┼──┤
│ 4  │ 1 │ 5  │
└──┴──┴──┘

xはいくらになった?
 「10」

 そう10だ。では,反応していない銅は何gだ。

「あっ,12から引けばいいんだ。2です」

 そう,だから答えは2.0gだ。

 反応せずに一部が残るというのは,少し理解しにくいようです。だから,その後図を描きながら少し説明を加えました。

 以上,今回も
中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる! (アスカビジネス)
 のコマーシャルでした)

 でも,本当に使えますよ。田の字,曲の字は。

田の字,祥子さんの工夫
 田の字表では,横の単位はそろえる,そして縦は対応する値ももってきます。

 電気のオームの法則でも田の字が使えます。
 電気抵抗というのは,電流1Aのときの電圧
です。

 だから,

抵抗(オーム)  電圧(V)
1(アンペア ) 電流(A)

 のように整理します。

 ただ,オームの法則では,抵抗の定義をきちんと覚えればいいのですが,なかなかそうもいきません。また,速度などのように横の単位が同じではないので,どこに何を入れればいいのか分かりにくいようです。

 きのう,3年生のS久本祥子さんが言いました。
「祥子は,オームの法則も田の字でやるよ。そして,右に×をかく。上のらんはこれだけでボルト(V)になっている。下は,横棒を入れるとアンペア(A)になる。
 左下は1というのは覚えているし,アンペアとボルトが決まれば,左の上はオーム(Ω)になる」
oomunohousoku.jpg
 なるほど。よく工夫したものです。これなら単位も大丈夫です。

「いい考えだ。使わせてもらおう」

「田の字」って何?
 ジジアマデウスさんから

>> 実は「田の字」・・・って知らないんです。

 というコメントをいただきました。

 こういう素直な質問ができるジジアマデウスさんは伸びる人です。そしてこういう質問があると「田の字」の宣伝がまたできます。

 知らなくて当然なんです。
 以前からあった整理の仕方にぼくが工夫を加えた,新しい問題の解き方です。
 「田の字」というのは,2×2の表です。「田」のようになるので,田の字。

 1個30円などを単価といいますね。1つでいくらというのは「単位あたり量」といいます。1人3個限り。1時間800円。1部屋5000円,などは単価です。
 
 それがいくつあるかが「いくつ分」です。1人3個,5人では,の5人
 1時間600円,20日では,の20日 などは「いくつ分」です。
 
 「全体量」はそのまますべての量
 1人3個,5人でいくと15個買える,この15個
 1時間600円,20日では,1200円。この1200円 などは「全体量」です。

 それを田の字に整理します。
 
単位あたり全体量
いくつ分


 「1人3個,5人では何個?」 は, 

3個x個
1人5人


 慣れると整理は簡単にできます。1人3個だから1人の上が3個。5人ではx個だから5人の上がx個。

 ここまでは,以前からあった方法です。右上がxのときは,かけ算,左上,右下がxのきはわり算になる,ということでやる方法です。

 それに対して,ぼくは方程式を導入しました。以下はぼくのアイデアです。それにより応用範囲がとても広がりました。

斜め同士をかけてイコールで結ぶのです。

3個x個
1人5人


  だと,1×x=3×5 これを解けば,15人はすぐでます。

 1人3個,15個だと何人? は

は, 

3個15個
1人x人

 方程式は,3x=1×15 これを解けば,5個。

 簡単でしょう。
 えぇ,こんなの方程式を使わなくても解けるよ,ですって。

 そうです。この田の字表の真価はこれからです。

 時速50km,150km行くには何時間?

50km150km
1時間x時間

 50x=1×150  x=3時間


 単位あたりの力を圧力といいます。最近はN(ニュートン)を中学でも使いますが,古い人のためにkg重 で説明します。

 5cm²に35g重の力を加えると,圧力はいくらか。


xg重35g重
1cm²5cm²

 
5x=1×35 x=7g重/cm²

 このようにして,比重,比熱など,いろいろ田の字で解けます。田の字でやると,かけ算,わり算,どれを使うかまったく迷わなくてすむのです。

 それだけではありません。百分率も田の字で解けます。

20%引きの商品があります。3万円の商品は何円値引きされますか。

3万円x円
100%20%

 
 ななめにかけて, 100x=30000×20 答え:6000円

 20%濃度の食塩水を150g作りたい。食塩をいくら使えばいいか。 

150gxg
100%20%

   100x=150×20  30g

 もちろん,湿度の問題にも使えます。

 それだけではありません。
マグネシウムと酸素はつねに質量比 3:2 で化合する。マグネシウム2.1gを完全燃焼させると,何gの酸素が化合するか 

2.1g xg

3x=2.1×2  1.4g

 曲の字表も考え出しました。2×3の表です。

マグネシウムと酸素はつねに質量比 3:2 で化合する。マグネシウム2.1gを完全燃焼させると,何gの酸化マグネシウムができるか。

マグネシウムと酸素はつねに質量比 3:2 で化合するので,酸化マグネシウム
マグネシウム:酸素:酸化マグネシウム=3:2:5 になります。だから

2.1g ****
325

 と整理して,真ん中の列を無視し,
3x=2.1×5  答え3.5g

 選挙の比例代表の議席配分もできます。





「田の字表」にカスタマーレビュー,星5つ
 アマゾンのページにあるぼくの「田の字表」にカスタマーレビューが一つ加わりました。今朝,気づきました。7月4日に掲載されたようです。

 とてもいい評価なのでうれしく思いました。

中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる! (アスカビジネス)
のカスタマーレビュー


古くて新しい算数学習のカイゼン, 2009/7/4   By KFR

算数や理科の計算問題が苦手な子供の頭の中を整理できる、シンプルでいて示唆に富んだ本。
また、ひと手間増やし、混乱する要素を整理し確実性を高めるという、ビジネス書で流行っている「見える化」にも通じる内容だ。

田の字表で扱える問題は比例や反比例の問題だ。
そして、中学校の数学や理科で出てくる計算問題の多くが比例や反比例の問題だから、その多くが「田の字表」でカバー出来るという理屈だ。

田の字表を使うには、問題文に出てくる計算要素を田の字表の空欄に当てはめ、そこから方程式に変換して、その方程式を解くことになる。
計算要素の田の字表の空欄への当てはめや方程式への変換は、ごく簡単なルールに従うだけでよく、問題を解く時間の節約になる。

田の字表は、問題文の整理と方程式への変換という二種類の作業を分離し、パターン化することで、余計な思考の混乱を排除することに貢献している。
そういう着眼点が「見える化」や「カイゼン」といった考え方に通じる部分だ。

また、初中等教育の就学人口が途中までに半減するような途上国での教育では、教える内容を方程式と田の字表に絞り込むのは有効な方法かもしれない。

本書は簡単な田の字表の解き方の解説の他は、問題を解きながら田の字表の解き方に慣れていく構成で、算数や理科の応用問題も網羅されている。
学校で田の字表が教えられていない理由や、田の字表の理論的な側面等の解説は出てこないが、小中学生向けによく考えられた構成と言えるだろう。





田の字表,比を簡単にして
 いま,中学3年生は学年末テストにむけての学習に励んでいます。数学は「相似」がかなりのウエイトをしめています。

 相似は,比ですから,田の字表が大活躍です。

「田の字」って何?


 さて,
 6:4=9:x を田の字表に入れると,下のようになります。

┌──┬──┐
│ 6 │ 4 │
├──┼──┤
│ 9 │ x │
└──┴──┘

 縦にみると,6:9になっています。この比は簡単にして
 2:3になりますね。

 それで,田の字の枠を増やして,曲の字表にして

┌──┬──┬──┐
│ 2 │ 6 │ 4 │
├──┼──┼──┤
│ 3 │ 9 │ x │
└──┴──┴──┘

 こうなると,真ん中をかくして

┌──┬──┐
│ 2 │ 4 │
├──┼──┤
│ 3 │ x │
└──┴──┘

 2x=3×4 で,x=6をすぐに求めることができます。

ほんとに田の字表はわかりやすい
 静岡のOさんから、メールをいただきました。

仲松様
お世話になります。静岡のOです。
英語中1~中3プログラム学習を終えた後、算数、数学の確認を始めました。
今小4,5,6のつっかかりやすいところの確認を一通り終えたところです。

ほんとに田の字表はわかりやすく助かっています。
かなり田の字がわかりやすかったため、別冊の田の字の本も中2、中3数学と一緒に購入しました。(アマゾンにて)
田の字表を使ってお金の単位換算もできるのですか?ドル、円、 ウオン、等

中1の誤正表はいただきましたが、中2、中3も誤正表は存在しますか?
ありましたらEメールで添付でお願いできませんでしょうか。


小学生がつっかかるのは、割合、比、図形、等のところですね。
小学の問題だからといってバカにできない文章問題もたくさんあることを再確認しました。

これから中学の確認をしようと思います。



  自画自賛になりますが、田の字表はとても便利です。使っているとあらゆるところで使えます。
 1ドル95円とすると、10000円は何ドルか、というのはすぐにできます。

 左下に1ドル、その上に95円を書きます。横は単位を揃えます。だから10000円は95円の右側に。xドルは1ドルの横に。すると次のような田の字ができます。

95円  10000円
1ドル   xドル

 中学生なら、たすきにかけて
95x=1×10000 
 これを解きます。

 小学生は方程式ができないので、パターンで覚えさせています。右下がxのときは割り算。

 だから、10000÷95=約105ドル

 まず、田の字に整理してごらん、ということで指導がしやすいですよ。

 方程式の分かる中学生には、どこがxであろうが、たすきにかけて方程式にもっていけばいいので楽です。

 数学のテキストは間違いが多くて申し訳なく思っています。校正の甘さを反省しています。

コメント,メールのブログ掲載について

「田の字」って何?



「田の字表」は定義をはっきりと。
 「田の字表」は、「みはじ」や「はじき」などと同じように、大分機械的に文章問題を解くことができます。

 「田の字表」について初めての人は次をお読みください。

「田の字表」とは何か?

「田の字」って何?

 しかし、「みはじ」や「はじき」は本当に、ただただを枠に数字を入れるだけですが、「田の字表」の場合には定義をはっきりさせて、表を完成させるという作業がはいります。

 「時速を求めなさい」という問題では、時速というのが1時間あたりにで移動する距離のことだということをはっきりさせてから「田の字表」を完成させます。

 
 「3時間で12km移動する。時速は?」

 という問題は、1時間で何km移動するかという問題です。

 だから、「田の字表」の左下の欄が1時間、左上の欄が Xkmということになります。

 そして右の欄は左の欄と単位を同じにして、右下が3時間、右上が12kmとして解きます。

xkm 12km
1時間 3時間

 密度の場合、圧力の場合もそうです。密度は1立方センチメートル当たりの重さ、圧力は1平方メートル当たりの力ということになります。それを意識しながら「田の字表」を完成させるという作業が必要になります。

 だから「田の字表」を整理するときには、密度とは何か、圧力とは何かを考えなければいけません。だから問題の意味をより一層理解するということができるようになるのです。

 理科に出てくる湿度などもそうです。その時の飽和水蒸気量を100とした場合、水蒸気量がいくらの時、にの値はいくらになるのかということを求めるということです。

 そういう定義をきちんとすることによって「田の字表」を整理できます。

 そして「田の字表」で解くことを続けていくと、時速、圧力、密度といった概念の理解が深まるのです。

 僕はそのように考えています。

 生徒が習いに来たときには、「田の字表」を整理させますが、その時に
「時速って何なの?「密度って何なの?」という質問から入ります。




田の字表の作り方
 僕は「田の字表」の本も出しましたし、このブログでもいろいろ書いてきました。



 「田の字表」は、文章題の苦手な人でも、ある程度機械的にやって、問題を解くことができます。

 今回は「田の字表」の、簡単な整理の仕方を紹介します。もちろん中学生にもそのように教えています。

 例えば
「80km/時で進んでいる車が 120kmを進むのに何時間かかるか」という場合です。(

(km/時)という単位が出た段階で、「田の字表」は
次のところまでは機械的に整理できます。

kmkm
1時間  時間

 (km/時)は、分数の「時間分のkm」を1行に入るように横に並べたものです。
 だから、「時」が下の部屋で、「km」が上の部屋になります。
 「田の字表」の基本的な型では、左下が「1」です。

 そして、次に速度、時速の意味を、きちんとを考えさせます。

 80km/時というのは、1時間に80km進む、ということです。
 この速度、時速をきちんと理解していない生徒がとても多いです。

 「田の字表」では、時速とは何かを意識しながら整理していきます。だから、理解も深まるのです。

 「みはじ」「はじき」は、本当に機械的に文章題を解く方法ですが、そういう点で「田の字表」はすぐれています。

 80km/時が、1時間28時kmだということですから、1時間の上の部屋は80kmになります。

 横の単位は一緒だよ、ということも強調します。

 左下が1時間ですから右下の単位は「時間」です。この例題では時間が分からないので、「x時間」になります。

 そして左上が80kmと単位はkmですから、右上もkmです。
だから120kmです。

80km120km
1時間x 時間

 このように、単位に着目して「田の字表」を整理していけば、簡単に整理することができます。

 「田の字表」が整理できれば、式は機械的になります。もちろん、最初導入するときは、なぜかけ算か、なぜわり算か説明しますが、一応理解すれば機械的でいいと思います。

 中学生の場合は、たすきにかけて=で結び、方程式を解きます。

 小学生は方程式が解けません。
 だから、右上が分からないときは、左上×右下
 左上が分からないときは、右上÷右下
 右下が分からないときは、右上÷左上
 というのを覚えてもらって解かせます。

 速度に関限らず、圧力、密度なども単位に着目すればかなりかなりのところまで「田の字表」を整理できます。

  す「はじき」「みはじ」は、「速さ」の問題にしか使えません。しかし、「田の字表」は、圧力、密度、濃度、湿度など、多くのことに使うことができます。中学理科で学ぶことのほとんどは「田の字表」でできます。

 そして「田の字表」の整理をすることにより、どういうことが言われているのか文章の理解も深まると思っています。

 つまり機械的に「田の字表」を整理しながら、意味もわかっていくということです。
 我田引水かもしれませんが、結構いいものだと思っています。

「田の字表」では、なぜ左下を1にするのか
 Ozさんから、質問メールをいただきました。
 Ozさん、ありがとうございます。

 「田の字表」の本を読まれたそうです。

 質問は、
「なぜ田の字表では左下を1にするのか、左下がいいのでは」
とのことです。

 メールの一部を引用します。
 

私なりに考えてみました。
左上がいいのでは?と思う理由は
ノートなどに書くときは、左→右 上→下と書いていく。左上が起点になるのが自然ではないか?
ということです。また、これと関連しますが、
比例、反比例を表で表すときは、普通上の段をx、下の段をyとする。
正比例の表で、xが1のときのyの値がそのまま変化量なので、左上が1になっているのが
やはり感覚的に自然ではないか?



 お答えします。
 まず、断っておきたいのは、田の字表は僕がゼロから作り上げたものではないということです。

 以前、麦の芽出版社から「楽しい算数」という学習書が出ていました。水道方式のとてもいい本でした。そこに田の字表があったのです。

 それを、ぼくは、いろいろ創意工夫をし、発展させたつもりです。

 その麦の芽出版社の表は、「左下が1」でした。僕はそれを踏襲したのです。それでいいと思ったのです。

 ここではその本がなぜ左下を下にしたのか、僕の想像も含めて書きます。

 まず、最初は掛け算です。

 1皿に3個のリンゴがのっている皿が、4皿ある。リンゴは全部で何個か。

 次のような絵になりますね。
ringo.jpg

 それを表のようにします。1皿3個、4皿ではいくらかです
ringo2.jpg

 この時に、1皿が左下の枠に入っています。

 これをタイル図で表してみます。次のようになります。
tairu_20111113013536.jpg

 水道方式ではタイルを用いて考えるので、このような図にするのです。

 それを数字の表にします。つまり田の字表です。ここでも左下に1がはいっています。
 
3個?個
1皿4皿

 このような経過を経て、左下が1になったと考えています。

 だから、絶対に左下が1でなければいけないというものではないでしょう。

 今、頭に浮かんだのは洗濯ばさみです。
 1つの洗濯ばさみに3枚ずつ紙を挟みます。
 4つの洗濯ばさみだと何枚になりますか、というのをイメージすれば、左の上が 1ということになります。もっといい例が浮かべばいいのですが。

 なお、ぼくも、Ozさんと同じように、関数のときは、左上が1がいいなと思いました。


この記事は深夜に書いたのですが、その後眠り,目が覚めた時に、
やはり田の字表は、左下が1でないといけない、という考えが浮かびました。

これからそれを次の記事に書きます。

「田の字表」は、左下が1でなければいけない。左の2つの部屋で秒速、圧力、密度などを表す。


「田の字表」は、左下が1でなければいけない。左の2つの部屋で秒速、圧力、密度などを表す。
 前の記事
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-2612.html
を深夜に書き、目が覚めた時に、
やはり「田の字表」は、左下が1がいい、いや左下でないといけない、という以下の考えが浮かびました。

 秒速を考えてみます。
「秒速30mで進む物体が4秒間では何メートル進みますか」、という問題を例にして説明します。

「田の字表」にすると次のようになります。

30mxm
1秒4秒

 秒速30mというのは、1秒間に30m進むということです。
「田の字表」で整理すると、左下が1秒その上が30mになりますね。

 僕は生徒たちに、「左側の2つの上下の部屋で秒速を表すんだよ」と、言います。

 左の2つの上下を分子と分母と考えます。
 すると 1秒 分の 30m になります。

 横書きの分数に表すと 30m/1秒です・。

 分数の場合、分母の1は省略されるので、 30m/秒になります。

 このように考えると、左側の2つの部屋で秒速を表すということを分かってもらえると思います。

 そうするためには「田の字表」の左下が1でなければいけないのです。

 また、僕は次のようなことも、よく生徒に言います。

 「単位はヒントだよ」と。

 例えば、問題の中に「30m/秒」が出た時、その単位を見ます。
m/秒 になっています。

 mが分子で、秒が分母です。つまり、上がmで、下が秒です。

 だから、「田の字表」で考えると、上の2つの部屋はがmで、下の2つの部屋が秒になるんだよ、

 そして、左下は、いつも1だから、ということで機械的に次のところ
までは「田の字表」を埋めることができるよ、

と教えています。
m
1秒

 このことは、もちろん圧力、密度、単価などにも言えることです。

 こう考えると、「田の字表」の左下を 1にした方が、ずっといいことがわかります。

   このようなことは、常日頃生徒たちに語っていることですが、田の字表が、なぜ左下が1かということと深く結びつけて考えていませんでした。


 前の記事にも書きましたが、「田の字表」は、最初は麦の芽出版「楽しい算数」からお借りしたものです。

 その著者たちはそこまで見通していたのでしょうね。すばらしいです。

 また、今回改めて「田の字表」について考えさせてもらったのは、Ozさんからのメールのおかげです。どうも、ありがとうございます。

 なぜ田の字表では、左下が1か、の質問メール
 前回、前々回のこのブログで「なぜ田の字表では、左下が1か」を書きました。
 それを書いたのは、Ozさまから、質問メールをいただいたからです。
 前後が逆になりますが、その質問メールをここに掲載いたします。

 Ozさまがよく考えて、子どもに教えたり、学んだりしていることが伝わってきます。

仲松庸次さま
初めまして。ご著書の「田の字表なら解ける・わかる・点がとれる!」を購入させいただき、読んでいます。
セルフ塾のブログも、過去ログを過去から順次見せていただいております。まだ2009年が終わったところですが。生徒さん方が主体的、積極的に学んでいる塾ですね。

さて、この田の字表で、疑問があります。もしもお時間ありましたら、お返事いただけると幸いです。
疑問というのは、なぜ「1」、「1単位」が左下か、ということです。
左上ではだめでしょうか?

あ!なんだか「なぜ1位なんですか?2位じゃだめなんですか?」と響きが似てしまいましたが、そんなあげ足とりのようなつもりではありません!
何か意味がきちんとありそうなので、教えていただけないでしょうか、という気持ちです。

私なりに考えてみました。
左上がいいのでは?と思う理由は
ノートなどに書くときは、左→右 上→下と書いていく。左上が起点になるのが自然ではないか?
ということです。また、これと関連しますが、
比例、反比例を表で表すときは、普通上の段をx、下の段をyとする。
正比例の表で、xが1のときのyの値がそのまま変化量なので、左上が1になっているのが
やはり感覚的に自然ではないか?

そして左下の方がよいと感じられる点は
グラフの第1象限では原点が左下である。「1単位」は、原点のようなもの?で、
右下の数字、左上の数字は、それがグラフ上のx,yに当たるということで
表ではなく、グラフに感覚的に近い。

ということです。

実は私は、1年半前にフィリピンから日本に来た小学6年生の男の子の家庭教師をしています。
彼に算数を教える中で、田の字表に似たものを使っていました。でも全然系統的になっていませんでした。
「比」や「速さ」の問題で、使っていたのですが、
とりあえず対応するものを横に並べる。4カ所のどこかに「1」が来る。それはどこかを決める。
同じ単位どうしが並ぶようにする。・・・ということで、「1」がどこに来るかは、そのときそのときで違っていました。そしてななめの掛け算ではなく、同じ単位の方向に、同じ計算をすることで、未知数を求めると、教えました。方程式が使えないから、ですね。

ご著書を読ませていただいて、そうか、1は左下、と決めておけば、表をつくるとっかかりになりやすいのだ!と思いました。また、こんなに応用範囲が広いのにも驚きました。

彼は少し前に、学校で比例、反比例の単元を学習していますが、そこで「なぜ1が左下?」の疑問が出てきたのでした。上でも説明しましたように、比例の表とは違ってしまうなあ、と思ったことからです。
でも、グラフの形態に似ている?ことにも魅力を感じます。
いえいえ、それらは私が勝手に考えてみたことですから、全然違う理由かもしれませんね。

1年3カ月ほど前に教え始めたフィリピン人の彼は、今ではかなり日本語は上達しましたが、始めはいろいろ図解などして工夫して教えました。そういう中で「田の字」に似た、感覚的にとらえられる表を使うようになりました。
彼と、中学の勉強もいっしょにやるかどうかはまだ決まっていないのですが、
もしそうなるなら、きちんとした「田の字」の考え方で(私のカオスな表でなく…)教えると、彼の良い武器になるのではないかと思っています。

長文になりまして失礼いたしました。お忙しいところ申し訳ありませんが、もしよろしければご回答いただけると嬉しく思います。 






時速の問題、比例、反比例の式を導く
 次のような問題がよく出ます。

「時速xkmで y時間進むと 120km進む。yをxの式で表せ。」


または

「時速60kmで x時間進むと y km進む。yをxの式で表せ。」


 通常は、比例の式なのか反比例の式なのかを判断し、
比例の式だと判断した場合は、y=axとし、比例定数を書き込みます。

 また反比例と判断した場合は、y=a/x として式を作ります。

それを「田の字表」でやってみます。

まずは、「時速」の意味をはっきりさせます。
時速というのは 1時間あたりにすすむ距離のことです。

 だから時速xkmという場合、1時間にxkm進むということです。

 それで、時速xkmで y時間進むと 120km進むという場合

 次のような田の字表に整理します。
 田の字表では、左下の部屋は1とします。
左右の部屋の単位は同じにし、上下は対応する値が入ります。

 すると次のようになります。



xkm120km
1時間y時間

 これを田の字表を解く方法で、タスキにかけて イコールで結びます。

 すると xy=120

 y= に直すために両辺をxで割ります。

 するとy=120/x

これで出来上がりです。

次は、
時速60kmで x時間進むと ykm進む。yをxの式で表せ。

これも田の字表にすると、次のようになります。

60kmykm
1時間x時間

 タスキにかけてイコールで結びます。

 すると、y= 60x

 これで出来上がりです。

 このように、田の字表でやると、比例の式なのか反比例の式なのか判断できなくても式を導くことができます。

「田の字」って何?

高校でも「田の字表」を使っているよ
先日、高校1年生のAskさんが、テスト勉強で物理を教えてほしいとやってきました。

 その時、「高校でも田の字表を使っているよ、田の字表を知らない人は、どのように計算しているのかなと思う」と言っていました。

 田の字表は高校になっても重宝しているようです。

 加速度の計算が出てきました。もちろん、加速度も田の字表で計算できます。

 加速度というのは、単位時間当たりの速度の変化です。

 例えば、3秒で速度が15m/秒増えた。加速度はいくらか。という問題。

 加速度というのは、1秒間に速度がいくら増えたかということです。

 田の字表にすると、次のようになります。

x m/秒15 m/秒  
1秒3秒

 これだけ分かれば加速度も、難なく解くことができます。

 高校で学ぶ物理や数学でも、田の字表はかなり使えます。化学のモルの計算なども、田の字表で楽に解けるはずです。

 このようなことを考えていると、高校生向けの田の字表を整理してみたいな、とも思います。

 でも、今はそれどころではありません。

「田の字」って何?



等加速度運動の速度と田の字表
 先日、テスト前、Askさん{卒業生:高校1年)が物理を教えて欲しいとやってきました。

 高校生でも田の字表を使った方がいいのがたくさんあります。

 それで、田の字で教えました。

 Askさんは田の字の方法は中学でかなり学んだので上手です。

 さて、このブログに、高校生の範囲でも使えるのを思いつきで書いてみます。

 まずは、等加速度運動の速度です。

 等加速度運動の速度は時間に比例します。

 加速度をa,時間をt,速度をvとすると、
 田の字表は次のようになります。

a(m/s)v(m/s)
1st(s)

  自然落下のときは、aが重力加速度g(9.8)になるだけです。

9.8(m/s)v(m/s)
1st(s)

 だから、自然落下で、t秒後の速度vは
 v=9.8t ですね。

 自然落下、3秒後速度は
9.8(m/s)  v(m/s)  
1s  3s  

 v=9.8×3 = 29.4m/s ですね。

 49m/s になるのは何秒後か

9.8(m/s)  49(m/s)   
1s  t(s)  

 9.8t = 1×49
 t=49/9.8=5 で5秒後ですね。

 まあ、このくらいは田の字を使わなくても楽勝かな。

加速度運動の距離と時間
 加速度運動を高校では学びます。

 そのとき、距離は時間の2乗に比例します。

加速度をa, 時間をt, 距離をsとして、
田の字表にすると

a/2  s  
12   t 2    

 になります。

 自由落下のときは、重力加速度がg=9.8
だから田の字表では、

g/2  s  
12      
 
これは

4.9 
12     

と覚えてもかまいません。

 3秒後の位置は

4.9 
12    32    


s=4.9(3)=44.1m

 19.6mに達するのは何秒後かは

4.9  19.6  
12      

4.9t2=12×19.6

t2=12×19.6/4.9=4
t=2

で2秒後

 

正弦定理は田の字に直して計算
高校では正弦定理を学びます。次のような式ですね。

seigen.png

単純な公式ですが、それを計算する時に少々面倒です。

分数の中に分数がはいるのです。つまり、分母が分数になることが多いのです。

  例えば
「次のような三角形ABCのsinAの値はどうなりますか。」
seigen.jpeg

 正弦定理にあてはめると、

segen3.jpeg

 のようになり、sin30=1/2 なので、

seigen4.jpeg

 となります。

 5/(1/2) となるのです。これはもちろんできます。

 分数を割り算の形に直し、そして逆数の掛け算に直して、計算します。
5/(1/2)=5÷(1/2)=5×2=10 です。

 10=8/sinA
 両辺にsinAをかけて
 10sinA=8
sinA= 8/10=4/5 で答えです。

 慎重に計算しなければ、間違えてしまいます。
 面倒ですね。

 このれを正弦定理を 田の字表だと思えば、計算は楽です。

abc2R
sinAsin  Bsin  C1

   とするだけ。

 上の問題の場合、次のようになります。

58
sin30sinA


 そして、たすきに掛け算をして、=で結びます。

5sinA=8sin30
5sinA=8×1/2
5sinA=4
sinA=4/5

 だいぶ楽だと思うのですが、どうでしょうか。




水溶液の濃度を田の字表で解く(1)
 田の字表だと、水溶液の濃度の問題を楽に解くことができます。
それを数回に分けて書きます。

 その前に「2つの水を混ぜる」問題です。

 なお、これは中1数学で学ぶ方程式ができることを前提としています。
 次のような方程式です。
【問1】 4(x-2)=3(9-x)

 大丈夫ですか。大丈夫なら次に進んでください。


【問2】 図のような、水そうがあります。中のしきりをとると、水の深さは何cmになりますか。

mizunofukasa.jpg


【問2】 は、(4×6×1+1×4×1)÷(6+4)×1で解いた人が多いと思います。
 つまり、水の量をそれぞれ求め、それを加え、底面積でわるのです。
 もちろん、これで間違いありません。
 なお、はばの長さ1cmは無視できますね。

【問2】を 次のように解いてみます。
しきりをとったあとの水の深さをxcmとします。

mizunofukasa2.jpg


すると、図A、Bの部分のたての長さをxを用いると次のようになります。
  Aのたて=(4-x)cm、Bのたて=(x-1)cm、

 A、Bの面積をxを用いて表すと、
  Aの面積=6(4-x)cm2、Bの面積=4(x-1)cm2

 この水そうのたて(奥行き)は1cmなので、Aの面積とAの水量、Bの面積と水量は同じです。

 Aの水量がBに流れこみ、ならされたと考えていいです。だから、
Aの面積=Bの面積です。

 だから、6(4-x)=4(x-1)という方程式ができます。
6(4-x)=4(x-1)
24-6x=4x-4
-6x-4x=-24-4
-10x=-28
x=2.8
水の深さは2.8cmになる。


 これを田の字で表してみます。


64
4-xx-1

 これをたてにかけ算して、イコールで結べば、

方程式 6(4-x)=4(x-1) ができあがりです。

 同じ面積の長方形のたてと横は反比例の関係にあります。
 反比例のとき、田の字表のたての部屋の積をイコールで結びます。

 水溶液の混合をすべてこれで解きます。次回は水溶液の混合です。


水溶液の濃度を田の字表で解く(2)




水溶液の濃度を田の字表で解く(4)
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水溶液の濃度を田の字表で解く(1)

水溶液の濃度を田の字表で解く(2)

水溶液の濃度を田の字表で解く(3)

このページの問題は次の通り

10%の食塩水と30%の食塩水をそれぞれ何gずつ混ぜると、15%の食塩水500gができますか。

 その模式図は次の通りです。これまでとよく似ていますね。どこをxとするか、という点が違うだけです。
nodo2.jpeg


 田の字表にすると次の通り。
xg500-xg
15-10(%)30-15(%)

  たてにかけ算してイコールで結びます。

x(15-10)=(500-x)(30-15)
5x=15(500-x)
5x=7500-15x
5x+15x=7500
20x=7500
x=375
10%の食塩水は375g
30%の食塩水は、500-375=125g

10%の食塩水をxg、30%の食塩水をygとして連立方程式にしてもいいですね。

考え方は同じです。

 前のページまでの解き方と、基本的に同じで、何をxとするかのちがいだけだということが分かってもらえたでしょうか。






水溶液の濃度を田の字表で解く(5)
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水溶液の濃度を田の字表で解く(1)

水溶液の濃度を田の字表で解く(2)

水溶液の濃度を田の字表で解く(3)

水溶液の濃度を田の字表で解く(4)

 これまでのまとめ。

 濃度の異なる2つの食塩水を混ぜる問題を田の字表を使って解いてきました。

 いくつか違う問題を解きましたが、基本は同じです。

 次のような模式図を描き、数値を入れていきます。
 違うのはxの位置だけです。

nodo3.jpeg


 そして、田の字表に整理します。
Aの横Bの横
Aのたて Bのよこ
  
 というように。

 そして、AとBの長方形の面積が等しので、

 田の字表をたてにかけ算して、イコールで結び、方程式を作り、解くだけです。
 
 Aのたて×横 = Bのたて×横

 ワンパターンすぎて、考えない子を作ってしまうのではないかと心配にはるほどです。



水溶液の濃度を田の字表で解く(6)
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水溶液の濃度を田の字表で解く(1)

水溶液の濃度を田の字表で解く(2)

水溶液の濃度を田の字表で解く(3)

水溶液の濃度を田の字表で解く(4)

水溶液の濃度を田の字表で解く(5)


このページは、連立方程式になるものです。

 次の問題

Aの食塩水200gとBの食塩水300gをまぜあわせると5%の食塩水になり、
Aの食塩水300gとBの食塩水200gをまぜあわせると6%の食塩水になります。
 この食塩水A,Bの濃度はそれぞれ何%ですか。


 まぜあわせるのが2通りなので、2つの田の字表ができます。

 食塩水A,Bの濃度はそれぞれx%、y%とします。

 「Aの食塩水200gとBの食塩水300gをまぜあわせると5%」
 は、次のような模式図と田の字表になります。


nodo4.jpeg 

200g300g
x-55ーy

 
 
 方程式は 200(x-5)=300(5-y)

 「Aの食塩水300gとBの食塩水200gをまぜあわせると6%」
 は、次のような模式図と田の字表になります。

nodo5.jpeg 

300g200g
x-66ーy

 方程式は 300(x-6)=200(6-y)

 連立方程式
 200(x-5)=300(5-y)
 300(x-6)=200(6-y)

 ができました。

 両辺を100でわると
 2(x-5)=3(5-y)
 3(x-6)=2(6-y)

 2(x-5)=3(5-y)
 2x-10=15-3y
 2x+3y=15+10
 2x+3y=25

 3(x-6)=2(6-y)
 3x-18=12ー2y
 3x+2y=12+18
 3x+2y=30

 2x+3y=25
 3x+2y=30

   6x+9y=75
-) 6x+4y=60
  5y=15
y=3

 2x+3(3)=25
2x+9=25
 2x=25-9
 2x=16
 x=8 

 食塩水Aの濃度=8%
 食塩水Bの濃度=3%

 連立になっても、基本的には前のページようにやればいいのです。

問題文を読んで、Aの濃度の方がBの濃度より高いと判断し、そのような模式図を描きました。

 しかし、その逆にしても答えは同じになります。

 





水溶液の濃度を田の字表で解く(7)

  このページを読む前に次のページを読んでください。

水溶液の濃度を田の字表で解く(1)
水溶液の濃度を田の字表で解く(2)
水溶液の濃度を田の字表で解く(3)
水溶液の濃度を田の字表で解く(4)
水溶液の濃度を田の字表で解く(5)
水溶液の濃度を田の字表で解く(6)



 食塩水を蒸発させるという問題もありますね。

 5%の食塩水から水を蒸発させて、8%の食塩水を200g作りたい。そのためには5%の食塩水から何gの水を蒸発させればよいか。

xgを蒸発させて、200gになるのですから、5%食塩水は(200+x)gだったのです。
 
 模式図は次のようになります。

nodo2.jpg


 次のような田の字表になります。
(200 + x)g200g
5%8%


 蒸発させると、変わるのは水の量で、食塩の量は変わりません。
、たてにかけてイコールで結び、方程式を作り、解きます。



5(200+x)=8*200
5x+1000=1600
5x=1600-1000
5x=600
x=120

 答え 120g
 


水溶液の濃度を田の字表で解く(8)
水溶液の濃度を田の字表で解く(1)
水溶液の濃度を田の字表で解く(2)
水溶液の濃度を田の字表で解く(3)
水溶液の濃度を田の字表で解く(4)
水溶液の濃度を田の字表で解く(5)
水溶液の濃度を田の字表で解く(6)
水溶液の濃度を田の字表で解く(7)


 食塩そのものは、100%の食塩水と考えてやれば、これまでのような方法で解くことができます。

 例えば、
 10%の食塩水300gに何gの食塩を加えると20%になりますか。

 模式図は次のようになります。

nodo3.jpg

 田の字表にすると次。
300g  xg
(20ー10)%  (100ー20)%  

300(20-10)=x(100-20)
300×10=80x
x=3000/80
x=37.5

 答え 37.5g



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