セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

水道方式
 数学の指導法に「水道方式」というのがあります。

 以下, 「大辞泉」から転載します。

【水道方式】
算数教育における指導方式の一。最も標準的な問題を先に学習させ、しだいに特殊な問題を解答させていく、筆算中心の学習方式。「一般から特殊へ」の方針を、上水道が貯水池から給水系統に分かれていくことにたとえた呼称。昭和33年(1958)ごろから遠山啓らが提唱。

 すばらしい方法です。
 私は,大学で心理学を学び,それを学ぶ中で「水道方式」について知りました。
 そして,当時,麦の芽出版社というところから「楽しい算数」「楽しい数学」というのが出ていて,それを使って家庭教師をしたこともあります。
 
 その中で,私自身が多くのことを学びました。
 改めて,ああ,こういうことだったんだ,と思うことが少なくありませんでした。

 セルフ塾を始めたころはその「楽しい~」を使っていました。そして,麦の芽出版がなくなりました。

 しかたないので,自分で教材を作り始めました。「楽しい」を土台にしながらも,プログラム学習の方法で,さらに自分で学習できるようにいろいろ変更を加えました。いまでは「楽しい」とかなり異なるものになっています。

 でも,水道方式のいいところは残っているように思います。

 そういうふうにしてできたのが,民衆社から出版された「わかる解けるできる 中学数学」です。

このブログの一番下にアマゾンの画像があります。




(ジオログ 10月23日から引っ越し )
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証明の根拠を書かせる
 中学2年では,三角形の合同,3年では,相似の証明が出てきます。そのときに大切なのは,証明の根拠を必ず書かせることです。

 証明の根拠というのは,仮定,共通,対頂角,平行線の錯角,同位角のことです。

 学校の問題,入試問題では,証明の根拠を書かなくても正解にすることが多いです。

 なぜ,書かせる必要があるのか。

 それは,書かなくてもいいことにすると,まぐれで正解になる確率がとても高いからです。

 合同の場合,対応する辺や角は等しいことは決まっています。そして,2つ等しいのが見つかればあとひとつ適当なものを等号で結んでも,正解になることがあるのです。

 これが等しいと言えればいいのになあ,で等しいと書いて正解になる。それでは,分かっているとは言えません。

 生徒が書いたのを見て,
 「では,なぜこの辺とこの辺が等しいの?」の質問に答えられないことがとても多いです。
 
 なぜ,等しいのかをきちんと理解して,証明する。
 それが大切だと思うのです。


{: 2007年11月25日(日) から引っ越し}


三角形の合同条件
 三角形の合同条件には,

1,2辺とその間の角がそれぞれ等しい。
2,1辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
3,3辺がそれぞれ等しい。
4,直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
5,直角三角形の斜辺と他の1鋭角がそれぞれ等しい。

 という5つがあります。
 長いですね。

 それで,簡単な型で表します。
1,辺角辺型
2,角辺角型
3,辺辺辺型
4,直角斜辺辺型
5,直角斜辺角型

 これは,単に簡単に言い表すだけというわけではありません。

 辺角辺の順に等しくなっているのか,理解しやすいのですね。

 これは何型? では,合同条件は? ときくことによって,生徒は整理しながら考えるようになります。

 いまはない麦の芽出版の「楽しい数学」からお借りしました。


{ ジオログ 2007年11月26日(月) から引っ越し }


三角形の合同の証明の教え方
三角形の合同の証明は難しいとされています。でも,きちんと一歩一歩進むように教えるとできるようになります。



1,合同条件を教える。
2,「仮定」と「結論」を教える。
3,証明の書き方のパターンを教える。
 ここが他と異なるところですが,証明の根拠をすべて「仮定」にしています。「仮定」については学んでいるので使えます。
4,証明の根拠として「辺の共通」が使えることを教え,「仮定」と「共通」で証明できる問題を与え,証明させます。
5,その後,「角の共通」,「対角線」,「平行線の錯角」「平行線の同位角」,そして推移率を教えます。
 このようにして,ひとつ一つ「証明の根拠」を増やしていくことにより,証明ができるようになります。



 合同の証明ができたら,証明菜図形の対応辺(角)が等しいことから,辺,角の等しさの証明にもっていきます。


{ ジオログ 11月30日 から引っ越し }

三角形の分離図
 三角形の合同の証明のとき,三角形の分離図を描かせるようにすると間違いが少なくなります。

 慣れていないと問題の三角形にまったく関係ない角度や辺が出てきたりします。
 また,分離図を描き,等しいことが分かった辺や角に印を入れることにより,合同条件がはっきり分かるようになります。
三角形の分離図


{ ジオログ 2007年12月1日 から引っ越し }

2辺とその間でない角
三角形合同条件のひとつは,

「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」です。

「2辺ともうひとつの角(間でない)がそれぞれ等しい」ではだめですね。

 なぜだめなのか。

 AB=2.5cm,BC=4cm,角C=30度の△ABCを描かせてみればいいのです。

 図のように2種類の三角形を描くことができます。

 だから,2辺と他の1角では,だめなのです。 

__tn_kakuhennhenn.jpg



{ジオログ 2007年12月3日(月) から引っ越し}


文字式の導入
中学1年数学の「文字式の導入」は,次のようにしています。

【問2】 次のことを式で表しなさい。なお、1つの値段を単価といいます。

(例) ケーキ2個の値段( ケーキの単価×2 )
(1) ケーキ5個の値段 
(2) りんご5個の値段
(3) バナナ3本の値段

 「ケーキの単価」と書くのは面倒です。短縮して「ケ単」と書くことにします。
「りんごの単価」は「り単」、「バナナの単価」は「バ単」としましょう。

【問3】 次のことを式で表しなさい。短縮して書きましょう。

(例) ケーキ2個の値段( ケ単×2 )
(1) ケーキ7個の値段 
(2) りんご10個の値段
(3) バナナ4本の値段

 「ケ単」でもまだ面倒です。 ケーキはcakeですから、いっそのこと c で表してみます。

【問4】 次のことを式で表しなさい。 
「ケーキの単価」は c ,
    「りんご(apple)の単価は a ,
「バナナ(banana)の単価」は b とします。


(例) ケーキ2個の値段( c×2 )
(1) ケーキ3個の値段 
(2) りんご9個の値段
(3) バナナ5本の値段


{ ジオログ 2007年12月4日(火) から引っ越し}


マイナス×マイナス=プラス なぜ?
 マイナス×マイナス=プラス になりますね。

 その説明をします。

 容器に水を入れます。入れるのをプラスとします。
 例えば1分間に2リットル入れる。+2 です。
 基準より「後」をプラスとする。3分後は +3
 3分後はいくらになるか。
  +2×(+3)=+6

 入れるのがプラスだから排出はマイナスになる。
 1分間に2リットル排出すると,-2

 1分間に2リットル排出すると,3分後は基準値より6リットル少なくなるから, 
 ー2×(+3)=ー6

 「後」がプラスだから,基準の時間より「前」はマイナス。

 1分間に2リットル入れる。基準時間より3分前の水量は基準値より6リットル少ない。だから

  +2×(-3)=ー6

 そして
  1分間に2リットル排出。基準時間より3分前の水量は
 基準値より6リットル多かったはずです。
 だから,
  -2×(-3)=+6 

 だから,マイナス×マイナス=プラス になります。


 別の説明
 東に向かうのをプラス,基準時間より後をプラスとする。

 すると,西に時速60kmで進む車は,ー60
 基準時間より2時間前は ー2

 西に時速60kmで進む車,基準時間より2時間前の位置は
 基準位置より,東に120kmの地点にあったはずですね。
 だからプラスになります。

{ジオログ: 2007年12月5日(水) から引っ越し)


三平方の定理の導入
「直角をはさむ2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和は、斜辺を1辺とする正方形の面積に等しい」 これを三平方の定理と言う。とまず,教えます。証明は後です。

 そして,実際に面積で考えさせていきます。いきなり辺の2乗にしない。図1のように小さな正方形の面積2つの和と大きな正方形1つの面積が等しいことを教え,xを求める問題をいくつかさせます。

 次に三角形の辺を与えます。しかし,面積に持っていくようにして,x~2 を求めさせます。(図2)

 そして,三角形の辺を求めさせます。(図3)
 ここでも,三角形のそれぞれの辺で作る正方形は与えて,視覚的に理解させるように持っていきます。

三平方の定理





{ ジオログ: 2007年12月7日(金) から引っ越し }


分数でわる意味・・・清水義範氏の説明
 きのうからヤフー知恵袋にいろいろ回答を載せています。いま分数でわる意味を次のように説明しました。データとして保存する意味もあり,ここに掲載します。

いろいろ説明のしかたはありますが,ここは清水義範著「いやでも楽しめる算数」のp52~p55から引用します。私はタイル図を描いて生徒には説明しますが,文だけで説明するのは,さすが作家だと思います。

掛け算の価値、割り算の意味

みーんな、割る2、をニつに分ける、と考えるのだった。
そこで私が、割り算にはもうひとつ意味があるんですけど、それは思いつきませんか、ときくのだが、誰も答えられない。
読者のみなさんはどうですか。割る2、はニつに分ける、ですか。割る3は、三つに分ける、という意味だけですか。
割り算には実はニつの意味があるのである。
割る2は、二つに分けるもひとつの意味であって間違ってはいない。しかし、もうひとつの割り算の意味を忘れてはいけないのだ。
10割る2、には、次のような意味もある。
10個のみかんがあって、1人に2個ずつあげるとしたら、何人分あるか。
10÷2=5
5人分あるわけだ。
つまり、10の中に、2は何個あるか、というのが、割り算のもうひとつの意味であり、実はこっちのほうが重要だと言ってもいいくらいなのだ。
それを忘れて、10割る2を、二つに分けるとばかり考えている人は、10割る1/2で考えにつまるのである。
10を、1/2に分ける。
なんや、それ。1/2に分けるって、どういうことなんだ。
割る1は、1つに分けるってことで、つまり分けないってことで、もとの10のまま。それはよい。

しかし、割る1/2だ。これはいったい、どういうふうに分けるということなのか。
頭の中にさっぱりイメージが浮かばないのである。
ところが、割り算のもうひとつの意味がわかっていれば、割る1/2のイメージがちゃんと浮かぶ。
つまり、10の中に1/2は何個あるか、とテキは言っておるわけなのだ。
1の中に、1/2は2個ある。
1÷1/2=2
10の中には、10÷1/2=20だ。そうだったのだ。これこそが分数の割り算をする時に分母と分子を逆さまにして掛けるってことの理由なのである。
  1の中に2/3は、1個半ある。
1÷2/3=1×3/2=3/2
つまりこれは、1の中に1/3は3個あるけど、2/3なんだからその半分しかないよなあ、
と考えて2で割っているのである。
1÷2/3=1×3÷2=1×3/2

だから、6の中に2/3がいくつあるかと考えてみると、
6÷2/3=6×3÷2=18/2=9
 ということをみんな機械的にやっていたのだ。
このように、分数の割り算も、割り算のもうひとつの意味、Aの中にBは何個あるか、で考えていくとくっきりと理解できるのである。



1÷0= ?
 ヤフーの知恵袋で「1÷0= 」という質問に次のように回答しました。
 まあ,うまく答えられたと思うけど。


1つのケーキがあります。1人が1/2食べると,何人食べることができるか。 1÷1/2=2 で2人。
1つのケーキ。1人が1/3食べると, 1÷1/3=3 で3人。
1つのケーキ。1人が1/10食べると, 1÷1/10=10 で10人。
1つのケーキ。1人が1/100食べると, 1÷1/100=100 で100人。
1つのケーキ。1人が1/1000食べると, 1÷1/1000=1000 で1000人

1つのケーキ。1人が0食べると, 1÷0
何人いてもいいですね。どれだけ多くの人数が集まっても大丈夫。だから無限大です。

よって,1÷0=無限大

 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 

 さて,上のことに関して,ある方からコメントをいただきました。それはおかしい,というコメントでした。 とてもていねいな言い方で好感のもてる方でした。
 ありがとうございました。

 私もよくよく考え直してみて,間違いに気づきました。

 そのむねコメントに書きました。
 
 それにまたコメントをいただき,間違いが分かっもらえたので,自分のコメントを削除して欲しいとのこと。

 それで削除いたします。

 ただ,以下に「1÷0 再び」ということで,続きを考えました。

 
 

http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-82.html

1÷0 再び
 1÷0 は不能 ということになりました。

 ひとつの説明は,

 1÷0=x(エックス) とすると,

 0×x =1 

 0に何をかけても 0 なんだから,x は求めることができない。


 前の続きで考えてみました。

 ケーキ1つ。1人が1/100 ずつ食べると 100人

 ケーキ1つ。1人が1/1000 ずつ食べると 1000人

 1人が無限小食べると,無限大 の人数になる。
 1人がほんの少しだけでも食べると場合,人数が多ければケーキはなくなります。

 そこまではいいですね。

 しかし,0になったとたんにまったく違ってくる。

 ケーキ1つ。1人が0。つまりまったく食べないのです。

 すると,何百人,何千人いたとしてもケーキはなくなりません。

 つまり,ケーキはなくならない,わけられないのです。 

 だから,1÷0=不能 ということになります。

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

 さて,別の説明も考えました。

 犬がいます。足は4本ですね。ここに足だけが見えて12本ありました。犬は何匹でしょう。

 12÷4=3 で3匹ですね。

 人間がいます。足が8本見えました。何人いるでしょう。

 8÷2=4 で4人

 フラミンゴ。全部片足で立っています。13本の足が見えました。

 13÷1=13 13羽


 さて,へびがいます。足はありません。つまり0本。

 へびがいます。足が1本見えます。へびは何匹。

 1÷0=  足が1本見える,というところからおかしい。ということ。

 だから 1÷0 なんてありえない,ということでしょう。

 

0÷0 
 次に 0÷0 を考えてみました。

 犬がいます。足が12本。犬は何匹?  12÷4=3 3匹

 犬がいます。足が0本。犬は何匹?  0÷4=0 0匹

 へびがいます。全部で足は0本。 へびは何匹? 0÷0

 へびが1匹でも,全部で足は0本

 へびが2匹でも,全部で足は0本

 へびが3匹でも,全部で足は0本

 つまり,1匹でも,2匹でも,3匹でも,4匹でも・・・・・・ 何でもいいのです。それだけでは何匹いるのか分からない。定まらないのですね。

 だから,0÷0=不定 ということになります。

 1÷0 の場合は,問題をたてる段階から間違えている。 だから,1÷0=不能

 0÷0 は,どんな数でもかまわない。だから,0÷0=不定 

 

タイルで,文字式を教える
 ヤフーの「知恵袋」で
「中一数学の「文字と式」、2a+5+a =5+3a となりますが、息子は8aと答えます。文字と数は足しちゃダメと言っても…「なぜ?」というカンジで納得いかないようです。掛け算とごっちゃになったり…

うまい教え方はないでしょうか? 」

 というのがありました。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1214391662


(この質問にたいする私の回答です)

 私はタイルを用いて教えますが,知恵袋では図示が難しいので,このブログで説明します。
  

 □ を1とします。

 すると,1,2,3 は以下のように表せます。
 横が1,たてがaのタイルはaとなります。

tairu.jpg



 2a+5+a  は次のように表すことができ,aの項と定数項(5)がいっしょにならないことは,目で見てすぐに分かります。

tairusiki.jpg



 私は,生徒が同じような間違い(よくやります)を犯したときは,タイル図を描いて,「これをいっしょにできる?」と言います。一目瞭然なので,生徒も納得です。

 ↓は,私の本で,タイルを用いていろいろ説明しています。



三角比の問題
きょうもヤフーの知恵袋から質問をさがしてきました。



数学の問題がわかりません。おしえてください

一番上にA。そのしたにPQ。そのしたBC。ABCを線で結んで三角形ABCをつくります。PQを結びます。(Pは辺ABの線上、Qは辺ACの線上にとって、辺PQは辺BCと平行にします)この三角形の比でAP:PB=AQ:QCがAP:AB=AQ:ACになるらしいです。途中の式などわからないので教えてください。説明下手ですいません。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1314397978


(ぼくの回答です)

 中学3年で学ぶ,相似については一応理解しているものとして,説明します。

 Q Cに平行で,点Pを通る直線を引き,BCとの交点をRとします。

三角比


 △PBRができます。

 △PBR, △ABC, △APQが相似になることが分かりますか。必要なら証明してもいいのですが,平行線の同位角,共通を使えば,「2組の角がそれぞれ等しい」ということで証明できます。

 △ABCと△APQは相似 相似の図形の辺の比はすべて等しいので,
AP:AB=AQ:AC になります。

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円周率の導き方
enshuuritu.jpg
(mixiの「授業の工夫」に書き込んだコメントのコピーです)

 ぼくは次のようにしています。

 図のような半径5cmの円とそれに外接している正方形を描きます。

 正方形の周囲の長さはいくらか,求めさせます。

 そして,正方形の周囲の長さと,円の周囲の長さはどちらが長いか,考えさせます。

 それにより,半径5cmの円周が40cmより短いことが分かります。

 
 次の右の図のような半径5cmの円とそれに内接している正六角形を描きます。

 正六角形の周囲の長さを求めさせます。30cmがでます。

 そこで,正六角形の周囲の長さと円周の長さはどれが長いか考えさせます。

 そこから,半径5cmの円周は30cmより長いことが分かります。

 まとめて,

 半径5cmの円周は30cmより長く,40cmより短いことが分かります。

 小学生の力では,そこまでだと思います。

 ただ,アルキメデスは,もっと細かくして,

 内接正96角形と外接正96角形の周囲の長さを計算して,円周率を求めたそうです。


 私は,その後はいろんな円筒にテープを巻き付けて,その長さをはかるというようなことで,3.14に近い値をみつけます。

すい体の体積はなぜ3分の1か
sankakusui.jpg
(これもmixi「授業の工夫」に書き込んだもののコピーです)

同じ形で大きさの異なる三角形をたくさんつくります。
  それを積み重ねると三角すいになります。この三角すいを
  ななめにずらすと体積はどうなるか考えさせます。
  ただずらしただけなのだから体積は変わらないことを確認します。
 そして,底面積と高さが 等しい三角すいは体積が等しくなることを確認します。

 次に真ん中の三角柱を3つに分けてみました。それぞれの大きさはどうなるか考えさせます。

 私は簡単に流していますが,3つの三角すいを紙ででも作り,それをあわせて三角柱を作って,それを3つに分解する。

 そして,3つの三角すいの底面積と高さを比べて,3つの体積が等しいことを確認したらもっといいでしょうね。


 三角すいが三角柱の3分の1だということが分かったら,あとは,四角すいは三角すいが2つあわさったものだから,四角柱の3分の1,他の多角形も3分の1というのを導くのは簡単です。

3ー5 の意味
 正の数と負の数の加法の意味は比較的簡単に説明できますし,生徒も理解してくれます。

 でも,減法の理解は難しいです。

 それでも,大きな正の数-小さな正の数,大きな正の数-小さな正の数 は難しくあります。

 5万円もっている。3万円の買い物をした。残りは
 +5万円-(+3万円)=+2万円

 5万円の借金がある。お母さんが3万円の借金を肩代わりした。残りは
 -5万円-(-3万円)=-2万円

 では,3-5 はどう説明するのか。

 ぼくは次のように説明しています。

 2万円借金する。それはお金がある(+2万円)が,借金もある(-2万円)。つまり2万円の借金をした段階ではプラスマイナス0円です。

 3万円持っている(+3万円)。5万円の品物を買いたい。それで,2万円借金した(±2万円)。そして,5万円の品を買った(ひく5万円)。

 すると,手元には 2万円の借金が残る(-2万円)

 □□□-□□□□□

=□□□(□□■■)-□□□□□

=■■


わかる解けるできる中学数学1年


 

-3-(-5)の意味
 前日は,3ー5の意味でした。

 今度は-3-(-5)の意味を考えてみます。つまり,小さな負の数から大きな負の数をひくのです。

 甘えん坊のAくん,3万円の借金があります(-3万円)。

 大甘のお母さんが言いました。

 「Aちゃん,もし借金があったら,お母さんが5万円分は肩代わりしてあげてもいいわよ」

 これを聞いたAくん。こう考えました。

 「いま借金は3万円だから,あと2万円は借金できるぞ」

 それで,2万円を借金し(±2万円),手元に2万円,そして借金が5万円。その5万円はお母さんに肩代わりしてもらい,

 2万円が残ったのでした。

 ■■■ー■■■■■

=■■■(■■□□)ー■■■■■

=□□

 ぼくのテキストではまんがで説明しています。
わかる解けるできる中学数学1年


-3-5 の意味
 -3-5 はどう説明するのか。

 負の数から正の数をひくのです。正の数はないので,そのままでは引くことができない。

 3万円の借金がある(-3万円)。5万円の品物を買いたい。それで,5万円借金した(±5万円)。そして,5万円の品を買った(ひく5万円)。

 すると,手元には 8万円の借金が残る(-8万円)

 ■■■-□□□□□

=■■■(□□□□□■■■■■)-□□□□□

=■■■■■■■■


わかる解けるできる中学数学1年

 3ー(-5),-3-(+5)の意味
正の数から負の数を引く計算です。

 正の数には負の数がないので,そのままでは引くことができません。

 また甘えん坊のAくん,大甘のお母さんの登場です。

 甘えん坊のAくん,3万円持っています(+3万円□□□)。

 大甘のお母さんが言いました。

 「Aちゃん,もし借金があったら,お母さんが5万円分は肩代わりしてあげてもいいわよ」

 これを聞いたAくん。こう考えました。

 「借金はないけど,お母さんがそう言うのだから,5万円は借金できるぞ」

 それで,5万円を借金し{±5万円(□□□□□■■■■■)},その5万円はお母さんに肩代わりしてもらい(ー■■■■■),

 手元に8万円が残ったのでした(□□□□□□□□)。

 □□□ー■■■■■

=□□□(□□□□□■■■■■)ー■■■■■

=□□□□□□□□

 そのまま「負の数-正の数」の説明をします。

 Aくん,3万円の借金があります(■■■)。

 5万円の品物を買いたいと思います。お金はないので,5万円借金しました{±5万円(□□□□□■■■■■)}。

 そのお金で5万円を支払い,買いました(ー□□□□□)。

 残ったのは,8万円の借金です(■■■■■■■■)。

 ■■■ー□□□□□

=■■■(□□□□□■■■■■)ー□□□□□

=■■■■■■■■



 
わかる解けるできる中学数学1年



解の公式の導き方
 二次方程式の解の公式の導き方のおもしろいのを次のページで発見しました。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/solution.htm

 私の本では,中学生にも解の公式を教えていますが,導き方はふつうのxの係数でわって分数にするものです。

 このように4xを全体にかけてやったほうが中学生,高校生にも分かりやすいだろうなと思います。
 
 このページにあった参考文献をさっそく注文しました。


1桁,2桁の読み方
 いまmixiに書き込んだのですが,ここにも残しておきます。

正の数,負の数の「数」の読み方について

 ぼくは「すう」と読んでいます。たいていは。
 でも,どちらでもいいのではないかと思います。「すう」は音読み,「かず」は訓読みで,意味の違いはないようです。

 ただ,1桁,2桁 を「いちけた」「にけた」と読むことにはとても抵抗があります。私の地域の生徒だけなのか,そういう読み方をする子がとても多いです。

 ご存じだとは思いますが,「いち・に・さん」と「ひとつ・ふたつ・みっつ」は意味が違います。
 英語だと, one two three は「ひとつ・ふたつ・みっつ」,first, second, third は「いち・に・さん」

 例えば「一姫二太郎」は,「いちひめにたろう」と読み,一番目が女の子,二番目が男の子,という意味であって,女の子1人と男の子2人という意味ではないです。

 2桁 は,桁が2つの数ということであって,2番目の桁という意味ではないです。それで,「ふたけた」と読んだ方がいいと思うのですが,どうでしょうか。

 ↑を書き込んでから,よくよく考えると,

「いちけた,にけた」でも間違いとは言えないのかな,と思い直しました。

 なぜなら,1個(いっこ),2個(にこ)であって,ひとこ,ふたこ とはふつう言わないですね。

 これも慣れなのかもしれません。ぼくは「ひとけた」「ふたけた」と習ったので,とても抵抗があるだけなのかもしれません。

 日本語は,英語に比べて,基数と序数の区別があいまいなので。

「逆行チェイニング」と連立方程式
 「行動分析学」に「チェイニング」という技法があります。

 プロセスの1つ1つを鎖にたとえ,それをつなげていくという意味でチェイニングと呼ばれる技法であり,鎖のつなげ方はいくつか開発されている。鎖を順番に前からつなげていくのは誰でも考えることだが,おもしろいのは,鎖を後ろからつなげていく逆行チェイニングという方法が,非常に効果を発揮するということである。(行動分析学入門 p94)



 この技法を意識的に使ったのが,連立方程式の解き方です。

 通常だと,xかyの係数をそろえて,たして(ひいて)・・・といきますね。

 ぼくのテキストではそうはしません。

 まず,中1の方程式の復習をします。
 例 5x=10, 4-y=1 (xやyだけの方程式です。これはやっている人多いでしょうね)(そして類題数問)

 次の代入の復習
 x=2 のとき 2x は?(そして類題数問)

 さて,次のことをここで教えている人はまずないのでは。
 x=2
 2x-y=1 を解かせるのです。(そして類題数問)

 次は,
 5x=10
2x-y=1 といった連立方程式です。(そして類題数問)

 そして
 3x+y=9
 2x-y=1  です。(そして類題数問)
もちろん,これを解くときは2つの方程式を加えると 5x=10 になることをていねいに教えます。

 ていねいな人でもふつうはこの段階から教えているのではないでしょうか。ぼくの教え方が逆行チェイニングになっていることが分かりますか。


逆行チェイニングと因数分解
 前々回,逆行チェイニングと連立方程式について書きました。
 後で読み返して,かなり粗い説明だなあと思いました。それで,別の例でもっとていねいな説明をしてみます。

 中学生には難しい問題ですが,ちょっと複雑な因数分解です。

① a²+2ab+b²+2a+2b-15
② =(a+b)²+2(a+b)-15
③ =A²+2A-15
④ =(A-3)(A+5)
⑤ =(a+b-3)(a+b+5)
①→②→③→④→⑤ とつないでいます。これをチェイニングといいます。この順序に計算すると答えにたどり着けます。別の解法もあるでしょうが,いまはこの説明に従ってください。

 さて,普通は,①→② を教え,②→③,そして③→④,④→⑤ と教えていきます。

 それを逆行チェイニングでは, ④→⑤ を先に教えるのです。

 A=a+b とすると,(A-3)(A+5) はどうなりますか。 という問題をさせます。

④   (A-3)(A+5)
⑤ =(a+b-3)(a+b+5)

そして類題。

 次は, ③→④→⑤ です。
A=a+b とすると,A²+2A-15 は? 

③ A²+2A-15
④ =(A-3)(A+5)
⑤ =(a+b-3)(a+b+5)


そして類題

②→③→④→⑤ 
  (a+b)²+2(a+b)-15 で,いったんa+b=A と置き変え,因数分解 (少していねいに) 
② (a+b)²+2(a+b)-15
③ =A²+2A-15
④ =(A-3)(A+5)
⑤ =(a+b-3)(a+b+5)

そして 類題

 最後に,①→②→③→④→⑤
  a²+2ab+b²+2a+2b-15 を与えます。 最初は自力では難しいので
 (a²+2ab+b²)+(+2a+2b)-15 のような感じでヒントを出したらいいですね。

 逆行チェイニングの場合,スモールステップではありますが,最後の答えを自分で出しているので,それがそのまま正の強化子(ほうび)となっています。


二乗の表示( 例:x² )
(x+y)²=x²+2xy+y²

きれいに,表示されているんじゃないですか?

 これまでぼくもそうですが,他の人もテキストによる文書(ブログなど)で二乗の表示がうまくできず

(x+y)~2=x~2+2xy+y~2 のように工夫して書いていました。

 もしかしてあるのではないかと探してみたら見つかりました。

  文字パレットで
 JIS(シフトJIS,Unicode) 00B2, 区点 000B2 です。
 ³ はJIS(シフトJIS,Unicode) 00B3, 区点 000B3 です。

(二乗の2,指数,小さな2)

二次方程式の導き方
 プログラム学習は,細かすぎて学力の高い生徒には退屈ではないのか,という意見が出ました。具体例を出して,みなさんの意見もうかがいたいなあ,と思います。二次方程式の解き方を紹介します。ただし,説明,例,類題は抜きます。ステップだけを紹介します。説明,類題も書くと膨大な量になりますので。{ }内は生徒へのではなくみなさんへの解説です)

(1)
3の平方根= {平方根の復習。もどるページもあります}
(2)
x²=3
(3)
√8 をa√b の形になおしなさい。{復習}
(4)
x²=8
(5)
x²=4
(6)
2x=6 {1年の方程式の復習}
(7)
2x²=6
(8)
1/√5 を有理化しなさい
(9)
5x²=1
(10)
2x+3=5 {移項の復習}
(11)
2x²+3=5
(12)
(a+b+1)(a+b-1)をa+b=A と置き換えてから展開しなさい。(復習)
(13)
(x+2)²=3
(14)
x=-2±2 を ±を使わずに表しなさい。
(15)
(x+2)²=4
(16)
x²+4x+4 を因数分解しなさい{因数分解の復習}
(17)
x²+4x+4=3
(18)
x²+8x+16=(x+4)² で,左辺の8xの係数8の( )が右辺の定数項4に,その4の( )が左辺の定数項16に
{実際には,図示,矢印での質問です}
(19)
x²+8x+□=(x+□)² □に適する数を入れなさい
(20)
x²+8x+□ の□に何を入れると平方の形になるか。
(21)
x²+4x=-1

(以下略)



アマゾンカスタマーレビューで好評
 久しぶりにアマゾン(インターネット書店)をのぞいたら,ぼくの本に新しいカスタマーレビューが載っていました。カスタマーレビューとは,お客によるその商品の感想や批評ですね。すべて★5つでした。ここに転載します。



★★★★★  本当に良くわかる中学数学です!, 2008/4/3
By matane (福岡県)

子どもの自学自習用に購入しました。
タイトル通り本当に良く分かる中学数学の参考書だと思います。
子どもの理解しやすい導入がなされており、自分で文章を読んで問題を解いていくとかなりのレベルまで理解できるようになっています。
他社の段階式の問題集も子どもに試してみましたが、断然こちらが優れていると申しえておりました。
中学数学の導入にこれを用いて、他の本で演習や定着度を確認すると良いのではと思います。他の教科も是非出版して欲しいところです。



★★★★★ 独学にたえうる詳しい本, 2008/3/17
By ヒカリ (埼玉県桶川市)

現場生まれの本書。
水道方式を活用し、理解型の数学。
中2では図形の証明など根本からの理解が必要な単元が多いが、
この本なら、わかる数学をすすめていける。



★★★★★ 数学を学びたいすべての人向け, 2008/3/17
By ヒカリ (埼玉県桶川市)

セルフラーニング数学に欠かせない本となっている。
中3では三平方や相似などを学校で習うのがかなり後半になるが、
この本なら自宅で予習(独学)も可能だろう。



2÷3=2/3 の教え方
 小学5年の算数で,2÷3=2/3 を教えます。

 ぼくのテキストには次のようにあります。タイルを使ったうまい教え方だと思っています。


〔 わり算の商と分数 ]

【問1】
(1) 6の水を3つに等分すると,ひとつ何リットルになりますか。

  式 (      )

(2) 2リットルの水を3つに等分すると,ひとつ何リットルになりますか。
  割り切れませんね。式だけ書きましょう。

  式

(3) 図を見ながら,2リットルの水を3つに等分すると,ひとつ何リットルになるか,
分数で答えましょう。
(      )

2/3


  上の【問1】(2)(3)は「2リットルの水を3つに等分する」という同じ問題で,  (2)の式は 2÷3 ,(3)の答えは2/3になりました。(2)と(3)は同じ問題ですから, 2÷3=2/3 です。このように,整数どうしのわり算の商は分数で表すことができます。   

【問2】 次のわり算の商を分数で表しなさい。

(1) 4÷5 (2) 6÷11 (3)1÷7


(4) 2÷5 (5) 4÷9 (6) 5÷13

【問3】 次のわり算の商を分数で表しなさい。
   仮分数は帯分数になおします
(1) 7÷3 (2) 10÷3


(3) 24÷9 (4) 8÷6


(5) 20÷8 (6) 43÷5
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