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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

これで,”ローレンツの短縮”は,完全理解
 前回と前々回の記事は理解できましたか。

ボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への一歩
同時に着くようにするボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への二歩目


 これまでのことが理解できれば,もう一歩です。この記事で完全に理解できます。

 今度は,文字式です。
 光の速さをckm/秒とします。ボートの速さをイメージしてください。
 エーテルという仮想の物質の流れをv km/秒とします。川(水)の流れの速さをイメージ。
 片道c kmのレースです。折り返し地点には鏡がおいてあるので,光は反射して戻ってきます。

 エーテルは図の右から左に流れています。

 横切る場合です。ボートの場合とまったく同じです。文字式になっただけ。

rorents1.jpeg

 三平方の定理でtを求めます。

 (ct)² = (vt)² + c²
 (ct)² - (vt)² = c²
 (c² - v²)t² = c²
 t² = c² / (c² - v²)
 t = √{c² / (c² - v²)}

往復なので
 2t = 2√{c² / (c² - v²)} ・・・・①

 今度は,エーテルの流れに平行に進む光です。ここではS kmを進むとします。折り返し地点には鏡があります。
rorents2.jpeg


 行きは流れに押されるように進むので,速さは(c+v)km/秒
 帰りは流れに逆らうように進むので,速さは(c-v)km/秒

行きの時間は,S/(c+v)
帰りの時間は,S/(c-v)

往復の時間は 
S/(c+v)+S/(c-v)
= S(c-v)/(c+v)(c-v)+S(c+v)/(c+v)(c-v) ・・・通分
={ S(c+v)+S(c-v)}/(c+v)(c-v) ・・・足す
= S(c+v+c-v)/(c²-v²) ・・・分子はSでくくる。分母は展開
= 2Sc/(c²-v²) ・・・分子のvが消える
2Sc/(c²-v²)・・・・②
 これが,流れにそって往復した光の時間です。

 この時間②と流れに垂直に進んだときの時間①を等しくするために,=で結びます。

2Sc/(c²-v²)=2√{c² / (c² - v²)}
S=2×(c²-v²)/2c{√{c² / (c² - v²)}×
  ・・・両辺を2c/(c²-v²)で割る
=(c²-v²)/c{√{c² / (c² - v²)}・・・2を約分
={√{(c²-v²)²c² / c²(c² - v²)}・・・(c²-v²)/c を二乗して,√の中に入れる
=√(c²-v²) ・・・ c²(c² - v²)で約分
=√(c²-v²) ・・・ √の中をc²で割る
=√(c²/c²-v²/c²) ・・・ √の中をc²で割る
=√1-(v/c)²) ・・・ これでローレンツの短縮の式ができあがりです。

 ぼくも,学びながらですが,これでいいと思います。
 もし,間違えているところがありましたら,教えてください。

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同時に着くようにするボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への二歩目
 前の記事「ボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への一歩」は理解できたでしょうか。

 さて,前回のボートレースでは,川の流れに垂直に進むAくんの方が,川の流れに平行に進むBくんより早く着きました。

 計算の上でもAくんが早くなるのは分かっているので,Bくんにとっては不利ですね。それで,計算の上では同時に着くようにしたいと思います。Bくんの進む距離をいくらにすればいいでしょうか。

boutrace6.jpeg

 Bくんの進む距離(片道)をSmとします。
 Bくん,行きの速度は40m/秒,帰りは20m/秒でした。
 Aくんの往復の時間は3√2/2秒でした。これで方程式を立てます

 S/40 + S/20 = 3√2/2
 S/40 + 2S/40 = 3√2/2
 3S/40 = 3√2/2
  S = 3√2/2×40/3
  S = 20√2

それで,Bくんの距離を20√2mにすれば,計算上は同時に着くと考えられます。


ボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への一歩
 いま、特殊相対性理論の理解に挑戦しています。特殊相対性理論は、一般相対性理論よりかなりやさしいようです。だから、特殊相対性理論まではなんとかがんばれば理解できるかもしれないと思っています。

 相対性理論に必ずでるのが”ローレンツの短縮”です。それが完全に理解できたように感じます。それに一番役だったのは、アトム博士の相対性理論です。



 それをぼくなりに説明してみます。このページは”ローレンツの短縮”への道の第一歩です。


 まずは、30mのボートレース。AくんとBくんがボートレースをします。
・AくんのボートもBくんのボートも秒速30m。
・川の流れは秒速10m。
・Aくんは川を横切って往復します。
・Bくんは川の流れにそって往きは川下に向かい、帰りは川上の向かってもどってきます。

boutrace1.jpeg

どちらが勝つでしょうか。


 まずBくんから。
 Bくんは、川の流れに乗って進んでいきます。追い風のようなものです。動く歩道を歩道が動く向きに歩くようなものです。だから、ボートの速さ30m/秒に川の流れ10m/秒が加わって40m/秒のスピードで進みます。

 30mを40m/秒で進むのですから、30÷40=3/4秒です。

boutrace2.jpeg

 帰りは向かい風のようなものです。川の流れに逆らって進みます。動く歩道を逆向きに歩くようなものです。だから、ボートの速さ30m/秒に川から流れ10m/秒を引いて20m/秒のスピードで進みます。

 30mを20m/秒で進むのですから、30÷20=3/2秒です。

boutrace3.jpeg

往きは3/4秒、帰りは3/2秒ですから、往復は 3/4+3/2=3/4+6/4=9/4秒 になります。
Bくんの往復の時間は 9/4秒,2.25秒 です。

次は、Aくんのボートです。川を横切るのですから、横からの流れの影響を受けます。動く歩道を横に動くのです。そのまままっすぐ横に進むと、流されてしまって、下流の方にいきますね。だから上流に斜めに進むようにします。図のように斜め左に進むと折り返しの旗のところに行けます。速さは流れの影響を受けません。垂直に流れを受けているからです。

boutrace4.jpeg

 三平方の定理(ピタゴラスの定理)で,tを求めます。

 (30t)² = (10t)² + 30²
900t² = 100t² + 900
900t² - 100t² = 900
800t² = 900
t² = 900 / 800 = 9/8
t = √9/8 = 3/2√2 = 3√2/4

 帰りもまったく同じで 3√2/4秒です。

boutrace5.jpeg

 だから,Aくんの往復は,3√2/4×2 = 3√2/2秒 およそ2.12秒
Bくんの往復の時間は 9/4秒,2.25秒 でした。

  それで,川を横切ったAくんの方がわずかに早く到着することが分かります。
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