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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

合同条件を頭に置きながら,証明を進める
中学三年生は受験に向けてきのう日曜日も勉強をしました。

 数学の三角形の合同を証明する問題を行いました。

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 四角形ABCDは平行四辺形。点EはADの中点です。



 生徒の解答を見ると,行き当たりばったりに,等しそうな三角形の角や辺を取り出しています。

 合同の証明では,三角形の合同条件を頭に置きながら,そのどれにあてはまりそうかを考えながらやらないとできません。

 セルフ塾では合同条件を少し変わったような言い方で覚えさせています。

三角形の合同条件


1,3辺がそれぞれ等しい。 → 辺辺辺型
2,2辺とその間の角がそれぞれ等しい。 → 辺角辺型
3,1辺とその両端の角がそれぞれ等しい  → 角辺角型
4, 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい → 直角斜辺辺型
5, 直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい → 直角斜辺角型

 というものです。

 それらの合同条件を頭に置きながら図形を見て,合同の証明をやらなければいけないよ,と強調します。

 それできのうは黒板に角辺角型、辺辺辺型、辺角辺型と書きました。直角は見えないし,あまり出題されないので,省きました。
 その三つの合同条件に必ずものがあることを確認します。「辺」です。

 「等しい辺があるはずだ。どれとどれだ?」といって,探させました。
 一人の生徒Y平くんが,適当に等しそうな辺を見つけて,「EF=EC」と答えました。
 それに対して,「それではなぜそれが等しいの?」と問いかけました。Y平くんはこたえきれません。見た目だけで考えているからです。

 合同な三角形の対応辺,対応角はすべて等しいです。しかし,証明に用いるのは,根拠があるものだけです。なぜ等しいのか,はっきりしているものだけしか使えません。
それを強調します。セルフ塾では,「仮定」「対頂角」「共通」「平行線の錯角」「平行線の同位角」といった証明の根拠となるものを教えていて,これを必ず書かせるようにしています。そうしなければ子どもたちは見た目で等しそうなものを書くのです。

三角形の合同の証明の教え方

 見た目だけで等しいとしてはいけないよ。確かにこの二つの辺は等しい。しかしそれが等しいことをきちん説明できる証明の根拠を示しきれなければいけない。
 別の三角形の辺を見つけてみよう。

 しばらくして、「EAとEDは等しい。中点だから」という証明の根拠も示しきれました。

 「そうだね。それは等しいと言える。」黒板に書きます。次に合同の型を見ながら,では,次に等しいのを探そう。
 「∠AEF=∠DECだよ。対頂角だから等しいよ」という発言。

 そうだね。これは等しい。採用します。

 「辺辺辺型」は消えたね。
 「では,辺角辺型はどうだろう。辺角辺型だとこの辺の組が等しいことになるけど,等しいと言えるかな?」
>>>「言えない」

 「そう,言えそうにない。では,角辺角型を考えてみよう。この型だとすると,どの組になる?」

>>>「∠FAE=∠CDE。平行線の錯角だから等しいよ」

「そう。よくできたね。これでもう証明は終わったようなものだ。このように,合同の証明では,合同条件をいつも頭に置きながら,それにそって考えを進めなければいけないよ。」

 さあ,どの程度分かってくれたでしょうか。
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