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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

一次関数、点Pの軌跡と図形の面積の問題。
 中学生はテスト勉強をしています。2年生は一次関数がテスト範囲に入っています。

 そこで、「点Pが移動するときの三角形の面積」といった、点の軌跡の問題が出ます。

 たとえば次のような問題です。

 図のようにAB=5cm、AD = 8cmの長方形ABCDがある。
tenno.jpeg

 点Pが毎秒1cmの速さでこの長方形の周上をAを出発して、B,Cを通ってDまで移動する。
 PがAを出発してから x秒後の三角形APDの面積をyc㎡とするときの式とグラフを書きなさい。



 中学生にとってはかなり難しいようです。

 三角形の面積なので、縦や横をxをもちいてあらわし、式を作るというのが、一般的なやり方です。

 僕も先日までそれで教えていましたが、なかなか理解するのに苦労しています。

 それで、簡単にできる方法はないか思案したところ思いつきました。

 これなら、とてもとても簡単にできます。

 ここにそれを記します。
 ただ、2点をとおる直線の式の求め方は十分にできているものとします。

 僕はまず、それぞれの頂点(かど)での三角形の面積を求めなさい、と言いました。

 まず、頂点AにPがあるときの三角形の面積です。
 APの長さはゼロですから、三角形の面積はゼロになります。
 0c㎡になることは、自分で考えると難しいのですが、説明すると楽に理解してくれます。

 次は頂点BにPがあるときです。出発してから5秒後。だからxは5秒。
 底辺が8cm、高さが5cm(または逆)なので、面積は 20c㎡。

 頂点CにPがある時も同じく20c㎡。
 出発してから13秒後。だからxは13秒。

 頂点Dに、Pがあるときは
 出発してから18秒後。だからxは18秒。
PDの長さがゼロですから面積は0c㎡。

 それを対応表にすると、次のようになります。

ABCD
x051318
y020200

 グラフは、このそれぞれの点をとって直線で結べば出来上がりです。

 式は 2点ずつを取り上げ、その2点を通る式を作ればいいのです。
 そして、xの範囲はその2点のx座標をxの左右に書き、不等号で結べばいいのです。

 すると、2点 A(0, 0)と、B(5, 20)をとおる直線の式は y=4x。範囲は 0≦x≦5 

 2点 B(5, 20)と、C(13, 20)をとおる直線の式は y=20。5<x≦13
(これは変化率は0なので、y=0x+20として考えるように教えます)

 2点 C(13, 20)と、D(18, 0)をとおる直線の式は y=-4x+72。範囲は 13<x≦18 

 実は、数学的に言えばこれは少しインチキです。

 なぜなら、これが直線の式だということをここでは示されていないのです。でも、中学2年生では直線の式しか出ないので、これで確実に点数は稼げます。
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