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歯車の問題、反比例
 広島のK様から、質問メールをいただきました。
 ありがとうございます。

   今日は、広島のKです。理解しやすい考え方をご指導願います。
またまた頭の中が整理できません。よろしくお願い致します。
 問題1  3段変則の自転車で、ペダルについている歯車と後輪についている歯車(ア~ウ)の回転数の関係について考えよう。
ペダルを10回転させるとき、後輪についている歯車の歯数をXその回転数をYとします。ペダルについている歯車の歯数は54で後輪についている歯車ア~ウの歯数を調べたら表のようになりました。下の表を完成させ、Xとyの関係を式で表しなさい。
問題2 この自転車の後輪に、さらに歯数が36の歯車が加わった時、ペダルを10回転させると、歯数36の歯車は何回転しますか。以上です。
よろしくお願い致します。図が上手に書けません。すみません

表1  X 12 18 24        歯車  ア イ  ウ
    Y [][][]        歯数 12 18 24
    広島 K


 さて、ご説明いたします。

 AとBの歯車があって、2つの歯車の接触点を見ます。

 その接触している点を通過する 歯の数を 考えるのです。

 ここで、「歯数」と「歯の数」を区別して使います。
 「歯数」というのは、歯車についている歯の数です。
「歯の数」は、接触点を通過する歯の数です。

 図を見てください。
 青い歯車の歯数は8、黄色の歯車の歯数は6です。

haguruma.jpg 

 青い歯車が1回転すると、赤い線で示した接触点を歯が8個通過しますね。

 黄色の歯車は歯数はちがうのですが、赤い線で示した接触点を同じく8個通過します。
 噛み合わさっているので、当然ですね。ここをきちんと理解してください。

 「ペダルについている歯車の歯数は54。それが10回転すると、接触点を通過する歯の数は540」というように。


 歯数54の歯車をAとします。

 このAの歯車が一回転すると、接触点を通過する歯の数は、もちろん54ですね。
  2回転するとその2倍の108。
 3回転すると3倍の162になります。
 そして、10回転すると540になります。

これからわかるように、「歯車の歯数×回転数=接触点で通過する 歯の数」です。

 これは大丈夫ですね。
 「歯数」と「歯の数」の区別もいいですね。

  さてBの接触点を見ます。 いまBの 歯数を 27とします。Aの半分です。

 歯数が いくらであれ、AとBの接触点を通過するの歯の数は、どちらも同じになりますね。そこがポイントです。そこのところをきちんと理解してください。

 AとBの歯はかみ合わせっているので、同じ数だけ送られていくはずです。

 Aが1回転すると接触点を通り過ぎる 歯の数 は54。
 Bもその接触点で通り過ぎる歯の数は54です。

 だから歯数27のBは、2回転して 54の歯を送ることになります。

  歯数がいくらの歯車であっても、接触面で通過する歯の数は同じになるということです。

 大丈夫でしょうか。

 河野さんの問題に戻ります。

 歯数が54の歯車が10回転しました。
 すると接触点で通過する歯の数は540 ということですね。

 これはどの歯車でも540になるということです。

 それで次のような表を作ります。

歯車の歯数54121824x
回転数10abcy
通過する歯の数=歯数×回転数540540540540540

 3段の表にして、下の段は全て540とするのことがポイントです。

 ふつう、学校や、参考書などでは、3段目は書きません。2段」です。

 すべて540だから、わかるだろう、という感じです。
 頭の中で計算すればいいということでしょうね。

 でも、生徒を指導してわかったのですが、三段目を書いた方がずっと理解しやすいということす。

 三段目は全て540になります。
「通過する歯の数=歯数×回転数=540」です。

 この表を作ることができれば、もう ほとんど出来上がってるようなものです。

 12a= 540 , a=45
18b=540 , b=30
24c=540 , c=22.5

そして、xy=540 , y=540/x になります。

「歯数36の歯車は何回転しますか。」 
36z=540 , z=15 , 15回転


歯の数が2倍になると回転数は 1/2ですみます。
 このようなの関係を反比例というのですね。

 理解できたでしょうか。



(2013年12月14日、追加)
次のページも読んでください。

歩幅と歩数の関係、反比例





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