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平成25年度沖縄県立開邦高等学校 一般入試 付加問題 数学 [2]

[2] aを正の数とし、原点をOとする。座標平面上の関数 y=ax²のグラフをF,
関数 y=- 2x - 4のグラフをLとするとき、次の問に答えなさい。

(1) FとLの交点Aのx座標が-4であるとき、aの値を求めなさい。

 (解)L のy=- 2x - 4 にx=-4 を代入すると、y=4 Aの座標は(-4,4)
これをy=ax²に代入し、4=16a a=1/4 答え(a=1/4)

(2)同じ座標平面上の関数 y=-2x²のグラフ をGとする。GとLの交点のうち x座標が負である方を点Bとするとき 三角形AOBの面積を求めなさい。


 (解)ふつう、(1)で「交点Aのx座標が-4であるとき」というときには、(2)では、それはもう使いません。(1)と(2)は別の問題とするのです。
 でも、(1)の結果を用いないと、そのまま y=ax²とすると、かなり面倒です。
 それで、試験作成者は、(2)でも(3)でも「交点Aのx座標が-4であるとき」という条件のもとでのものと考えているのだろうと思い、それにしたがって解きます。
y=-2x²とy=- 2x - 4の交点Bの座標を求めます。連立方程式を解けばいいですね。
 すると、(-1,-2)になります。
 y=- 2x - 4がy軸と交わる点をCとします。Cの座標は (0,-4)。
 △AOCと△OBCの面積の差が△AOBの面積です。
 △AOC=4*4*(1/2)=8, △OBC=4*1*(1/2)=2, 8-2=6 よって、答えは(6)


(3)F上でx座標が正である部分を点Pが動くとする。
 点Pからx軸に垂直に着いた直線がGとまじわる点をQとし、三角形 OPQを、線分PQを軸として 一回転させたときにできる立体の体積が(4/27)πとなるとき 点Pの座標を求めなさい。


点Pのx座標をpとします。
点Pの座標は(p, p²/4)
点Qの座標は(p, -2p²)
三角形OPQは次の図のようになります。

kaiho4.jpg



それを1回転させると、円錐が2つくっついたようになりますね。
上の円錐の体積= p²*(p²/4)π/3= πp⁴/12
上の円錐の体積= p²*(2p²)π/3= 2πp⁴/3
(πp⁴/12)+(2πp⁴/3)=(πp⁴/12)+(8πp⁴/12)=9πp⁴/12=3πp⁴/4
 9πp⁴/12=(4/27)π (問題文から)
 3πp⁴/4=(4/27)π (問題文から)
 p⁴=(4/27)π*4/3π=4*4/27*3=(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)=(2/3)⁴
 p⁴=(2/3)⁴ よって、p=±(2/3) pは正、よって、p=(2/3)
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平成25年度沖縄県立開邦高等学校一般入試問題付加問題数学[3](3)のと解説
平成25年度沖縄県立開邦高等学校一般入試問題付加問題数学[3](3)のと解説


 円Oの半径が1,円O’の半径が√2とする。
 図のように 、中心が点O”で 半径3の円周上を点Oが時計回りに、
中心が点O”で 半径4の円周上を点O’が反時計回りに動いている。
円O、円O”の2つの円が重なり、重なる部分の 面積が最も大きくなる時の面積を求めなさい。
kaiho1.jpg





 面積が重なる部分の面積がもっとも大きくなるのは、3つの中心点が一直線に並んだ時です。 次のような図になります。

 そして 重なった部分の面積を求めます。

 半径1と半径√2 なので、図は次のようになります。

 円Oの半径は1と半円O’の半径は√2です。
 この2つが重なる点をA,Bとすると、

 A,B、円Oの中心は一直線に並び、円Oと円O’を結ぶ線と垂直に交わります。

 また、三角形AO’Bの辺の比は√2:√2:1=1:1:√2なので、
∠AO’B=90°です。
kaiho2.jpg


 図の面積をS1,S2とすると、
 S1=1×1×π×(1/2)=π/2
 S2=√2×√2×π×(1/4)-√2×√2×(1/2 )=(π/2) -1
 S=S1+S2=(π/2) +(π/2) -1=π -1

kaiho3.jpg


 答え π -1

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