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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

座標だけが分かって、角度を求める問題
平成23年度沖縄県立開邦高等学校 一般入試 付加問題をN海さん、K香さんにさせています。

 その数学の問題に次のような問題が出ました。
 実際は、点Cの座標は自分で求めなければいけないのですが、ポイントをしぼるために、ここでは与えておきます。

 点A(1,2)、点O(0,0)、点C(2,1)がある。
 ∠AOCの大きさを求めなさい。


 この問題を頭の中だけで解ける人は、かなり数学ができる人でしょう。ぼくにはそのような芸当はできません。

 ただ、多くの生徒はこのような問題を前にしたら、立ち往生で、どうしたらいいのか手もつけないかもしれません。

 2人は、それ以前に点Aの座標を求めることもできていませんでした。

 ぼくは、
「まず、だいぶ大きめの方眼を描きなさい。
 方眼はできるだけ正確に描くように。
 そして、3つの点A,O.Cを打ちなさい」
 と指示しました。

 目の前で、少し手伝いながらさせ、そして、
「3つの点を結んで三角形を作りなさい」
 と言って、次のような三角形を作らしました。
chokkakusan.jpg

 「こんな問題は、頭の中で考えてもだめだ。
 このような図を描いたら、次が見えてくる。
 ぼくも図に描いたから、答えが見えてきたんだよ」

 と言い。
 「この三角形は何三角形?」とたずねると、

 「二等辺三角形」と返ってきたのでも
 「もっと」と言うと
 なんとか「二等辺三角形」だということに気づきました。

 「すると、問題の∠AOCの大きさは?」「45度だ」と答えが出てきました。

 そう、これは見た目で直角二等辺三角形。
 それが正しければ、∠AOCの大きさは45度だ。
 もし、時間がなければ、そのまま45度と書いてもいいよ。
 でも、数学的には、それが本当に直角二等辺三角形だということを
 証明しなければいけない」

 「3つの辺の長さを求めてごらん」と言って、求めさせると
 √5,√5 、√10 だということを導くことができました。

 これは、1:1:√2 になっている、だから直角二等辺三角形だということが数学的にもはっきりした。だから答えは45度。

 このように、
 大きなできるだけ正確な(定規を使ってよければ定規を使って)図形を描いてみるということによって、答えを導くことができますね。


2つの直角三角形の合同を証明して、∠Aが90度だということをいって、
直角二等辺三角形だということを証明してもいいですね。
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