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二次方程式、解の公式の教科書とは違う導き方3
二次方程式、解の公式の教科書とは違う導き方

二次方程式、解の公式の教科書とは違う導き方2

のつづきです。

今回は、2次方程式の解の公式Ⅰ、一般的な解の公式を導いてみます。

解の公式Ⅱは、x項の係数が偶数の場合でしたが、公式Ⅰは奇数でもできます。

まず
3x²+7x+1=0 を解いてみます。

1を移項します。

3x²+7x=-1

次は、教科書だと両辺をx²の係数3で割りますね。

ここでは、両辺に12(3×4)をかけます。
3はx²の係数、4はxの係数を偶数にするためです。
2でも偶数になりますが、そうするとx²の係数が2乗の数にならないので、
4です。

すると

36x²+84x=-12

表を使って、平方完成法。

6x7
6x36x²42x
742x49

すると、

36x²+84x+49=-12+49
(6x+7)²=37

6x+7=±√37
6x=-7±√37
x=(-7±√37)/6

文字式で、公式を導いてみます。

ax²+bx+c=0 

まず、cを移項します。

ax²+bx=-c

両辺に4aをかけます。

すると

4a²x²+4abx=-4ac

表を使って、平方完成法。

2axb
2ax 4a²x²2abx
b2abxb²

すると、

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac

2ax+b=±√(b²-4ac)
2ax=-b±√(b²-4ac)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a

これで一般的な解の公式を導くことができました。

教科書では、x²項の係数を1にするために、
両辺をaでわります。

x²項の係数を1になるのはいいのですが、分数の計算になり、めんどうです。

このページで紹介した方法は、x²項の係数が1以外になるので、
平方完成するのは少し難しいのですが、表を使った方法でやれば
整数で計算を進めることができるので
分かりやすいと思います。

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