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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

なぜ、対称式が出てくると基本対称式に変形するのか
広島のKさまから、質問メールをいただきました。

代入問題と思うのに・・・対称式が出てくると基本対称式で求めるのはどうしてですか。
 2文字  x=・・・y=・・・・とそれぞれ値が与えてあるのに
そのまま問題に代入すると、答えがちがってきます。今までのように代入で解答を求めてらいけないようですが・・・・・わざわざ対称式から求める意味が解りません。 

問題は
  x=2/(2-√3)    y=1/(2+√3)  のとき 
x²+y² の値を求める。問題です。


問題を見たときどこで見分けるのか理解が出来ません。見分ける方法があれば、・・・・・
 またまた困ったしだいです。
 わざわざ変形して計算する意図が解りません。
よろしくおねがいいたします。    広島  K


(少々、変更してあります)


まず、2通りの解き方でやってみます。

解き方1(対称式を利用)

x²+y²=(x+y)²-2xy

(x+y)²と-2xyを別々にします。

(x+y)²
=({2/(2-√3)}+{1/(2+√3)}²・・・代入
=[{2(2+√3)+(2-√3)}/(2-√3)(2+√3)]²・・・通分
=[(4+2√3+2-√3)/(4-3)]²・・・展開
={6+√3}²・・・計算
=36+12√3+3・・・展開
=39+12√3

-2xy
=-2{2/(2-√3)}×{1/(2+√3)}
=-2{2/(4-3)}
=-4

x²+y²=(x+y)²-2xy
=39+12√3-4
=35+12√3


解き方2(そのまま代入)

x²とy²を別々にします。

x²={2/(2-√3)}²
=2²/(2-√3)²
=4/(4-4√3+3)
=4/(7-4√3)

y²={1/(2+√3)}²
=1²/(2+√3)²
=1/(4+4√3+3)
=1/(7+4√3)

x²+y²
={4/(7-4√3)}+{1/(7+4√3)}
={4(7+4√3)+(7-4√3)}/(7-4√3)(7+4√3)
={28+16√3+7-4√3}/(49-48)
= 35+12√3


当然ですが、同じ答えになります。

さて、Kさんの質問にあるように、なぜ変形するのか。

すべての対称式は必ず、基本対称式の組み合わせで表すことができます。

この例で言えば、

x²+y²は、対称式です。xとyを入れ替えても同じものを対称式といいます。

それは、このような対称式は基本対称式である x+yとxyの組み合わせに変形できるのです。

では、なぜ変形してから代入するように教えるのか。

そうした方が簡単なことがあるからです。

ぼくの経験で言えば、xの中に、a+√b , yの中にa-√b の形のものがあるときです。

x=a+√b , y=a-√b だと、
xy=(a+√b)(a-√b)=a²-b
x+y=(a+√b)+(a-√b)=2a
というように、簡単になるからです。

簡単になれば、楽でもあるし、計算間違いも少なくなります。

だから、できればこのようなのは変形してから、代入した方がいいですね。

でも、変形してからにしなければいけない、ということではありません。

数学では、解答に至る道はいろいろです。解答に至ることが大切であって、必ずこの道でなければいけないということはありません。

すぐに代入しても、答えがあえばいいのです。

中学3年では、式の展開、因数分解を学びます。

式の展開、因数分解では、公式を覚えて、それにあてはめた方が計算は楽です。

でも、どの公式を使ったらいいのか、けっこうわかりにくいようです。

わかりにくい生徒には、一般的な方法を教えて、すべてそれでやってもいいよ、と言っています。

その方が正解率が高くなる生徒が少なくないのです。

対称式の場合もそうですね。

できれば、変形してから代入した方がいいのですが、変形する段階で間違えたら元も子もありません。

すぐに代入した方がいいと思ったらそれでやってもいいです。

今回の問題では、xの分子が2,yの分子が1になっているせいで、変形してからやってもそれほど楽にはならない、と思いました。

そういうこともあります。でも、そのまま代入したら、とても難しい問題もあるように思います。
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