セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

単位には、意味がある。わり算は1あたり量を求めること
かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している(2)

 にkankyoさまから、メールをいただきました。ありがとうございます。
 納得がいかなければ、何度でもご意見を述べるのはいいことだと思います。

 コメントは次の通りです。

タイトル:割り算は、常に正比例を仮定している、について
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selfyojji 様

コメントを記事でとり上げて頂いた kankyo です。ありがとうございます。

まず、記事で指摘を受けた単位の件について。

個を何倍しても個であり円にはならない。
それはおっしゃるとおりだと思います。

私は、あくまで単位にくっついている数字の関係だけを念頭においており、
個を○倍すると円になる、というような考えは持っておりません。

最初の記事で指摘された(されたは尊敬語です。)際は、
それに触れるのは余計なことと考えましたが、
次の記事でも同様の指摘をされたため・・

さて、記事後段の次の部分についてです。

(記事引用)

Aくんにも3個、Bくんにも3個、Cくんにも3個、Dくんもに3個のビー玉を分けるのです。
そのときにだけ、12÷4 という割り算の式ができるのです。
1あたりの量が等しいのです。

(記事引用終わり)

上記の場合は分ける場面が分かりやすいです。(12÷4=3)
割り算とは1当たりの量をだす操作ということが、イメージを伴って納得できます。

では今度、にわかには具体的な例が思い浮かびませんが、
12÷2.4=5 という割り算について。

これは 2.4 等分にする、あるいは 2.4 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。

さらにつぎ。これも今は具体的な例が浮かびませんが、
12 ÷ 0.5 = 24 という式。

これも、 0.5 等分にする、あるいは 0.5 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。

(文意と関係ありませんが、等分除としてもイメージできないです。)

そこで、私は次のように理解しています。

A÷Bという割り算はAとBの倍率をだす操作に過ぎない。

そして、AとBが正比例の関係にあると仮定した場合は、
A÷Bという割り算は1当たりの量をだす操作であるともいえる。

AとBは正比例の関係を保ちながら動くものであり、
Bが1のときのA÷Bの答、つまり倍率=1当たりの量となる。

(小6で習う正比例という言葉をだしましたが、大人同士ということで使わせてください。)

私の理解は以上です。

こう考えると私としては、12 ÷ 2.4 も 12 ÷ 0.5 も、その他なんでも、
割り算とは1当たりの量を求める操作である、
ということに納得がいきます。

さて、引き続き 長きにわたった割り算の謎から解放された気分を味わっています。
・・もしかして浅はかでしょうか。
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 では、回答いたします。

では今度、にわかには具体的な例が思い浮かびませんが、
12÷2.4=5 という割り算について。
これは 2.4 等分にする、あるいは 2.4 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。


 について、
 「等分する」「分ける」と考えるから想像できないのです。
 ぼくは考えることができます。

 2.4gで12円の食塩、1gでは何円か。 1gでは5円。5円/g
 これを単価といいます。1単位あたりの値段です。ここでは1gあたりの値段。

 次
 2.4時間で12km進む物体。1時間では何km進むか。 1時間に5km
 これは時速ですね。1時間あたりに移動する距離です。5km/時

 2.4cm³で質量12gの物質。1cm³の質量はいくらか。 5g/cm³
 これは密度です。1cm³あたりの質量です。

  2.4km²に12人の人が住んでいる地域。1km²あたりの人口はいくらか。
 1km²に5人。5人/km²
これを人口密度といいますね。単位面積1k㎡当たりに居住する人の数です。

  2.4m²に12Nの力がかかっている。1m²あたりの何Nらか。
 5N/m²=5Pa(パスカル)
  これは圧力です。1平方メートル (m²) の面積につき何ニュートン (N) の力が作用しているか、です。

 2.4Lのガソリンで12km進む車。1Lでは何km進むか。1Lで5km。
 これを燃費(ねんぴ)と言いますね。
 燃料(ガソリン、軽油など)の単位容量あたりの走行距離、もしくは一定の距離をどれだけの燃料で走れるかを示す指標す。

 まだ、例をあげることができますが、もう十分だと思います。


 わり算は、このように1(単位)あたりの量を求める計算です。
  「等分する」「分ける」と考えると理解できなくなります。

12 ÷ 0.5 = 24 という式。
これも、 0.5 等分にする、あるいは 0.5 に分けるということが想像できず、



 これも、単位あたりで考えれば、理解できます。上の例に12と0.5を代入すればいいですね。

 1つだけ例をあげれば、
 0.5時間で12km進む物体。1時間では何km進むか。 1時間に24km

 十分に理解できます。

 小学低学年では、わり算は、「等分する」「分ける」と考えて理解できるでしょうが、小数や分数のわり算を学ぶときには、それだけでは理解できなくなるのです。

 それで、わり算とは「1あたり量」を求める計算だ、という理解が必要になるのです。また、「いくつ分」を求めることもあります。

 なお、単位には意味があります。それを取り除いて考えることは、まったく意味がないとはいいませんが、それに近いです。

 単位を取り除いて、計算的には正しくても
 (個)を何倍しても(円)になりません。

 単位をもっと大切に扱ってもらいたいです。

 それで、
 倍率=1当たりの量 というのは間違いだと思います。

 なお、整数のわり算は「わける」「等分する」と考えて理解できますが、小数、分数は理解できないことがあります。
 分離数は基本的に整数です。ただ、連続数では、小数、分数が出てきます。
 
 分離数、連続数については、次の記事を。

分離量は「ビー玉型の量」、連続量は、「テープ型の量」


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コンドミニアムT-Room
 5月26日(木)、読谷村長浜にあるコンドミニアムタイプの宿泊施設「T-Room」に一泊してきました。
  妻Kyoko、母Emiといっしょです。
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  友人のYoshinobuさんから、T-Roomに体験宿泊しないか、と誘いがあったのです。本格的なオープンは6月からとのこと。その前に宿泊させてくれるとのこと。

 到着すると、スタッフのみなさんがあたたかい笑顔で迎えてくれました。スタッフは知人ですが、初めての客もきっとあたたかく迎えるでしょう。

 そして、ワンちゃんも迎えてくれました。
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 なんといっても眺めがすばらしい。
 長浜の斜面の上のほうにたっています。だから、長浜の海が一望。
 伊江島も遠くに見えます。その日は天気がよすぎたのか、だいぶかすんでいます。
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 残波岬も見えます。
 部屋によっては本部半島も見えます。(前に体験)

 部屋はだいぶ高級感があります。
 広々としたリビングルームには、ソファーと大きな画面のテレビ。
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 ゆっくりテレビ鑑賞もできました。

 台所には、調理道具がきちんと備えられています。冷蔵庫、電子レンジ、ポット、食器類も。
 ダイニングテーブルもゆったりとしたのが。
IMG_20160527_093506.jpg

 ぼくらは、こんなところに来てまで妻に苦労させたくないので、夕飯は外食、朝食は近くのコンビニで買ってきました。ポットで湯を沸かし、お茶をいただいただけ。

 クローゼットルームもゆったり。
 ベッドルームは2室。1室に2つの広々としたベッド。4人が泊まれます。
 ただ、少しトイレから遠いので、足の悪い母はリビングルームのソファーで寝ました。ソファーはゆったりしているので、気持ちよく眠られたとのこと。
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 その他、トイレ、洗面所、浴室、シャワールーム(浴室の隣に軽いガラス戸で仕切られて)などもあり、ちょっとぜいたくな感じもします。
 ゆっくり長期滞在するにはいいでしょうね。

 気になるのは宿泊料ですね。
 ただ、今回、特別に無料にしてもらいました。だから、いくらか知りません。近くホームページをたちあげるでしょうから、そこで確認してください。

 翌朝は、屋上の展望台まで、足の悪い母も上がり、眺めを楽しみました。
IMG_20160527_090915.jpg

 庭も広々として、よく手入れされています。
 知人がやっているというひいき目は抜きにしても、いいところだと思います。おすすめです。

割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。少し詳しく
 前にも書きましたが、kankyoさんから、次の記事にコメントをいただきました。

割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。

4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。


 の間には、論理的飛躍があるのではないか、という意見でした。
 kankyoさんは「論理的飛躍」という言葉を用いていませんが、そういうことだと理解しています。

 そこのところを少し詳しく説明します。

 「ケーキ1個で50円なら4個では何円か」
 式は 50円/個×4個 答えは200円

 いいですね。
 かけ算は、(1あたり量)×(いくつ分)=(全体量) です。

 なお、その場合、kankyoさんが気にしている、1個あたりの値段50円はすべてのケーキで等しいということが前提です。
 kankyoさんは「正比例」という言葉を用いています。ただ、「正比例」はかなり後に学ぶ概念なので、その用語は使わないことにします。

 さて、わり算は、かけ算の反対の操作だといっていいです。

 2通り考えられます。
 
 「1個で50円のケーキ、200円では何個買えるか」
 200円÷50円/個=4個
 
 (全体量)÷(1あたり量)=(いくつ分) です。
 (いくつ分)を求めるわり算です。

 もう一つの意味
「4個で200円のケーキ、1個で何円か」
 200円÷4個=50円/個

 1あたり量を求めるわり算です。
 (全体量)÷(いくつ分)=(1あたり量) です。


 分数が入っても、同じです。

 「ケーキ1個で200円なら1/4個では何円か」
 式は 200円/個×1/4個 答えは50円
 (1あたり量)×(いくつ分)=(全体量) です。

 分数が入った場合でも1個あたりの値段200円は、すべてのケーキ(部分的にも)で等しいということが前提です。

 わり算です。
 「1個で200円のケーキ、50円では何個買えるか」
 50円÷200円/個=1/4個
  (全体量)÷(1あたり量)=(いくつ分)

 もう一つの意味
「1/4個で50円のケーキ、1個で何円か」
 50円÷1/4個=200円/個
 (全体量)÷(いくつ分)=(1あたり量) です。

 かけ算の反対の操作が、わり算だと思えば、理解しやすいのではないか、と思って説明してみました。どうでしょうか。

 繰り返しますが、
 ここでは、ケーキの値段は均一だというのは、前提です。
 ケーキを切ったら、切るという労働が入るし、入れ物も別にするから、高くなるとか、
 ケーキを切ったら、丸ごとという魅力が失われるので、安くなるとか、ということはないものとするのです。


かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している(2)
きのう書いた記事
かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している
 に kankyoさんから、コメントがありました。ありがとうございます。


割算とは 1 当たりの量を求める操作である、ということについて
この記事でコメントを取り上げていただいた kankyo です。
どうもありがとうございます。

selfyojji 様の記事を読み、私の理解を改めて整理してみました。

◆事柄A 4 個で 200 円なら、200 円÷4 個で、1 個の値段が出る。
◆事柄B 1/4 個で200 円なら、200 円÷1/4 個で、1 個の値段が出る。

まず、事柄Aについて。
事柄Aとは次のようなことであると考えます。

4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷4 を行います。
すると 50 という数字がでてきます。
これは、200 が 4 の 50 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 50 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1 の場合、円につく数字は 1 × 50 (50 倍) で 50 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 50 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

(事柄Aについては以上。)

つぎに、事柄Bについて。
事柄Bとは次のようなことであると考えます。(くどくなります。すいません。)

1/4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷1/4 を行います。
すると 800 という数字がでてきます。
これは、200 が 1/4 の 800 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
1/4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 800 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1 の場合、円につく数字は 1 × 800 (800 倍) で 800 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 800 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

(事柄Bについては以上。)

これらのことから、繰り返しになって恐縮ですが、

割算とは単に与えられた量どうしの倍率だす操作であり、
与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
1 あたりの量を求める操作であるとも言える、

と理解しました。

今までいろいろと本やネットの記事を読んできて、
割り算とは 1 あたりの量をだす操作である、ということはよく目にしました。

しかし、与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
という条件については目にすることがありませんでした。

この条件は、専門家の目でみるとどうなのか分かりませんが、
素人の私にとってはとても大きな発見です。

最初のコメントで、割算の意味が分からなくて数年悩んでいると書きましたが、
実は 15 年くらい悩んでいたのです。

生きているうちに、この悩みから解放されてとても満足しています。
selfyojji 様、このたびは本当にありがとうございました、




(以下はYojiの文)
 コメント、ありがとうございます。Kankyoさんの考えておられることが分かった気がします。

 

x(個)

1(個)

2(個)

3(個)

4(個)

5(個)

・・・

y(円)

50()

100()

150()

200()

250()

・・・・

 

50円=1個×50
100円=2個×50
150円=3個×50
200円=4個×50
250円=5個×50
・・・・・
 y=50×x
 
 だから、値段と個数は正比例している。

 

x(個)

1/4(個)

2/4(個)

3/4(個)

1(個)

2(個)

・・・

y(円)

200()

400()

600()

800()

1600()

・・・・

 
200円=1/4個×800
400円=2/4個×800
600円=3/4個×800
800円=1個×800
1600円=2個×800

・・・・・
 y=800×x

 だから、値段と個数は正比例している。

  このようにkankyoさんが考えている、と思っていいでしょうか。
  基本的には、正しいと思います。おもしろいところに着眼したものだと思います。

 ただ、ぼくが違和感を持つのは、「4個の50倍が200円になる」「2個の800倍が1600円」になる、というように(個)のn倍が(円)になるというようなところです。

 次のように考えてはどうでしょうか。
 「1個50円、4個では200円になる」「1個800円、2個では1600円」になる。

  「1個50円、4個では200円になる」の場合、
50(円/個)×4(個)=200円
 になって、単位も正しくなります。ふつうはそう教えています。

  次は、

割り算とは 1 あたりの量をだす操作である、ということはよく目にしました。
しかし、与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
という条件については目にすることがありませんでした。
 
 について。

 「正比例」は、小6で学びます。
 一方、かけ算、割り算は低学年のときに学びます。

 だから、かけ算、割り算を学ぶときに「正比例」という言葉をつかうことはできません。

 しかし、かけ算、割り算では、均一だということはしっかり教えます。

 1人3個のビー玉をもった4人の子供。という場合、
 Aくんも3個、Bくんも3個、Cくんも3個、Dくんも3個のビー玉を持っているのです。1あたり量がすべて同じです。

 そういうときにしか、3×4 というかけ算はできません。

 Aくんは3個、Bくんは2個、Cくんは5個、Dくんは1個のビー玉を持っている」というようなときは、「平均」の問題になりますね。

 割り算もそうです。
 12個のビー玉を4人に分ける」
 というときには、均一に分けることが条件です。

 それは、割り算の導入のときに、ぼくは教えます。

  Aくんにも3個、Bくんにも3個、Cくんにも3個、Dくんもに3個のビー玉を分けるのです。
 そのときにだけ、12÷4 という割り算の式ができるのです。
 1あたりの量が等しいのです。

 見方を変えれば、そういうとき、子供の数とビー玉全部の数は正比例しているといえます。

 kankyoさんが、「正比例」の関係を独自に見出したのはご立派だと思います。
 その通りです。

 かけ算、割り算の導入のときには、「正比例」という用語を使うわけにいかない(まだ習っていないから)ので、「1あたりが等しいとき」ということを教えている、と考えてもいいと思います。

かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している
 kankyoさんから、次の記事にコメントをいただきました。ありがとうございます。
割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。

タイトル:割算は1当たりの量を求めることについて
********************
数年前から割算がすっきりと理解できず、苦しんでいる47歳男性です。
検索してここにたどり着きました。

興味深く読ませて頂いたのですが、次のところで止まってしまいました。

【記事引用】

「分ける」というのではなく、、全体量÷いくつ分 をして、1当たり量を出す操作のことを割り算という、と考えましょう。

4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。

【記事引用終わり】

上の4行目の理由が3行目になる、つまり3行目が成立するから4行目も成立する、
と言われていると思うのですが、私にはなぜそう言えるのかが分かりませんでした。

3行目と4行目はそれぞれ独立した事象であって、
3行目が成立が4行目の成立を自動的に導いていないように思えます。
それを導くには、3行目と4行目の間をつなぐなにかが必要ではないでしょうか。

私なりに考えたのですが、

200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

では、1個の場合は何円になるか。

答え方としては、

(円)が(個)の800倍になるということが常に成立すると仮定すれば、
つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある仮定すれば、
1個の値段は、1×800=800円になる。

ということになるのではなでしょうか。

つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある、
という条件を言わなければならないと思うのです。

こういうことから、私は、
無条件に、割算は1当たり量を求めること、とは言えないような気がするのです。
割算とは単に、与えられた量どうしの倍率関係を求めること、なのではないかと思います。

そして、与えられた量どうしが正比例の関係にあると条件づけるならば、
そこではじめて、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのだと思います。
********************




 4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。


 という部分に、論理的な飛躍があるとのことですね。
 それについて、改めて考えてみました。その機会を作ってくださったことに感謝いたします。

 その飛躍を埋めることは次回に書きます。
 ここで、コメントの中の件で2点述べます。

 200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

 という点。

 ふつう、「何倍か」というときには、同じ単位になります。
 200円は40円の何倍か。
 200個は1/4個の何倍か。
 これはいいです。

 単位をつけずに 200は1/4の何倍か、もいいです。

 でも、200円は1/4個の何倍か、は考えられません。

 1/4個の800倍は、200個です 200円にはなりません。

 1/4個を何倍しても200円にはならないのです。


 次に、かけ算、割り算は、常に正比例を仮定しています。

 正比例というのは、x=0のときy=0
 そして、均一に変化することです。

 1匹に6本の足がある虫、5匹では足は何本になるか。
 その場合、すべての虫はそれぞれ6本の足がついているのです。
 1匹は事故で足を失い5本しかない、または突然変異で7本の足のある虫、などを入れては掛け算は成り立ちません。
 また、0匹では0本の足ですね。

 12dLのジュースを3人に分ける。1人いくらか。
 その場合、12÷3 にするには、均一に分けるというのが条件です。

 1人は2dL,別は4dL、などとしてはいけないのです。

 ジュース全体をy、子供の人数をxとすると、y=4x という正比例の関係でなければいけないのです。

 1/4個で200円のケーキ。別の1/4個も200円、さらに別の1/4個も200円。
 だから、1個では800円になるのです。

 すべて均一でなければいけないのです。

  このようにかけ算、割り算では、与えられた量どうしが正比例の関係にあるといえます。
 だから、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのです。




人殺しを抑えるブレーキを外す訓練
前の記事で、次のように書きました。
米軍属女性死体遺棄事件について

軍隊は人を殺すための組織です。軍人は人を殺す訓練もします。人を殺しても平気でいられるようにする訓練もあるといいます。人を殺すことにブレーキがかかるように、人間の本能はなっています。そのブレーキを外す訓練を軍隊ではやるのです。


岡田尊司著「脳内汚染」から引用します。

 第二次世界大戦当時、射撃用訓練用に用いられたのは黒い円の標的であった。この訓練が実戦に役に立たないとわかって使われるようになったのが、飛び出し式の人形シルエットである。
 人型シルエットが立ち上がった瞬間に狙いをつけ発砲する訓練をつむと実戦での発砲率も数倍に上がったのである。

 フォークランド紛争で、アルゼンチン軍とイギリス軍が戦った時、アルゼンチン軍は昔ながらの黒い円の標的を用いていたため発砲率が10から15%にとどまった。それに対して近代装備のイギリス軍はポップアップ式の人形シルエットで射撃訓練を行っていたため、発砲率が9割を超えたのである。


 射撃訓練はただ射撃の命中率を上げるためだけではないのですね。
 黒い円の標的だけでは射撃の腕は上がるでしょうが、人間を撃つことができない。

 それに対して人形シルエットの訓練で、人間であっても撃つことができるようにするということです。

 人間の脳の中には、人を殺すことをおさえるブレーキが備わっています。
 そのブレーキを外さなければ、射撃の腕はよくても、人間を殺すことができないのです。

 だから軍隊では、人を殺すのを抑えるブレーキを外す訓練もするのです。そして、ふつうの善良な市民が、殺人マシーンに変えられてしまうということです。
 想像ですが、いまは、バーチャルリアリティーで、もっとリアルな動きのある人間を撃つ訓練もやっているのかもしれません。





米軍属女性死体遺棄事件について
 今回の、米軍属女性死体遺棄事件について、沖縄の人の中にも悪い人はいるし、殺人、暴行といった事件を起こす。でも、こんなに大きな報道はされない。アメリカ軍人にもいい人はいるよ、米軍人を差別しているのではないか、などといった意見が出ます。
 でも、それは同じレベルでは語れないことだと思います。

 まず、地位協定、治外法権です。
 治外法権については、中学の歴史でも学びますね。明治政府はアメリカと結んだ不平等条約の改正に向けた運動を懸命にやりますね。不平等条約では、アメリカ人は治外法権だった。つまり、アメリカ人が犯罪を犯しても日本の法でさばけない。これはだめだと、日本政府は改正をがんばったのでしたね。

 沖縄で、アメリカ軍人が事件を起こしても罪に問われないことがあります。ひき逃げをして人を殺しても公務中だと基地内に逃げ込み、アメリカ本土に去っていって、そのあと特に大きな罪にならなかったという例もあるそうです。

 フェイスブック友達の1人は、フェイスブックに次のような書き込みをしています。

 中学生のころ、祖母が青信号の横断歩道を渡っているときに米兵に引かれたが、謝罪も補償もなく、米国本土に逃げていった。入院費用を自分らが出さなければいけないので、アルバイトもした、と。

 今回は、現役軍人ではないし、公務中ではないので、そういうことはないのかもしれません。法律については専門外なので、詳しくはないので申し訳ない。

 しかし、米軍人には、罪に問われないという意識があるのではないか。今回の容疑者もそれが身に付いていて、それが今回の事件につながったといえないかどうか。自分らは犯罪を犯しても罪に問われないからという意識がなかったか。植民地意識がなかったかどうかです。

 もう一つ。軍人というのは戦争に行きます。戦争というのは、正常な精神ではいられなくします。それが犯罪に人を押し進めてしまいます。後遺症もあるそうです。

 また、軍隊は人を殺すための組織です。軍人は人を殺す訓練もします。人を殺しても平気でいられるようにする訓練もあるといいます。人を殺すことにブレーキがかかるように、人間の本能はなっています。そのブレーキを外す訓練を軍隊ではやるのです。

 そういったことが今回の事件につながっていないかどうか。

 犯罪は、いろんなことが重なって起こります。今度の容疑者は写真で見る限り人のよさそうな感じがします。もともと悪い人ではなかったのではないか。

 いろいろな原因の一つに米軍人だったということが入っていないかどうか。そうであれば、米軍基地がなくなれば、沖縄にそういう人もいなくなるのではないか。
 
 今回の加害者も、米軍基地の被害者ではなかったでしょうか。

スマホ(HUAWEI)がフリーズ、解決
 ぼくのスマートフォン(HUAWEI)に次のような文句が出て、フリーズしました。

check sd update is exist... make sure usb cable has been inserted usb update starting


 それを、なんとか解決しました。
 そのいきさつは後回しにして、早く解消法を知りたい人のために、結論から書きます。

 スマホの右側面にある、電源スイッチと、ボリュームスイッチの+と-を同時に長押しします。10秒くらいのつもりで。
 すると、画面が消えて、再起動します。これで、解決です。




 さる5月21日(土曜日)、母の昼食会に送迎で那覇に行きました。
 母をホテルの前でおろし、県立博物館に。そこに妻がいます。

 妻に電話をかけようと、スマホの画面を見ると

check sd update is exist... make sure usb cable has been inserted usb update starting

 という文句があり、フリーズです。

 どのボタンを押しても、うんともすんとも言いません。
 電源も切れません。

 電池を取り除いてしまえば、電源を切れるかと思い、裏蓋を外し、取りのぞこうとしますが、はずすことができません。これまでの携帯電話、スマホは簡単に外すことができたのですが、

 妻には公衆電話から連絡し、会うことはできました。
 妻が博物館見学をしている間、ぼくはスマホと格闘。まったくだめです。

 博物館のレストランで昼食をとって、母を迎えにホテルに向かいました。
 時間的にだいぶ余裕をもっているつもりでした。帰る時間になったら、ぼくのスマホに電話するように言っていたのですが、電話を受け取れないので、早めに行ったのです。

 でも、そこに母はいません。従業員がついいましがた帰った、と言っています。
 ぼくは、近くを探しましたが、いません。電話をかけることもできません。
 いつもより、だいぶ早めに終わったようです。

 帰りに兄の家に寄る予定だったので、そこに行くと母はいました。タクシーで帰ったそうです。
 とにかく電話が通じないと大変です。

 家に帰って、インターネットで、
 check sd update is exist... make sure usb cable の部分を検索すると、英文のページに行きました。英語版の「知恵袋」のようなものです。

 ぼくと同じように困った人が質問し、それに回答が載っています。

 そこで、

Basically your power button and both volume rocker buttons (+ and -) were pressed


 とあったので、電源ボタンとボリュームボタンを押せばいいのだな、と思い、やったら解決したのです。

 スマホは便利なだけに、故障すると大変です。

 後で、「HUAWEI フリーズ」を検索したら、日本語で再起動の方法が書かれていました。

多項式の乗法もタイルで
 中3では、多項式の乗法(展開)を学びます。それもタイルで説明できます。

 まず、乗法(かけ算)の意味から。
 3×4 は、1あたり量3が4つ分という意味です。
 タイルで表すと、たて3,横4のタイルの長方形を作り、いくつのタイルができるか、と数えればいいです。

tairu3x4.jpg


 さて、(2x+3)(3x+4)は次のように、たて(2x+3)、横(3x+4)の長方形を作ればいいのですね。
 そこでできたタイルを数えます。x²のタイルは6枚。xのタイルは9本と8本で17本。1のタイルが12個。
 だから、(2x+3)(3x+4)=6x²+17x+12 

tairu2x;3

 これが多項式のタイル算です。そこから文字式の計算のしかたを学べば分かりやすいと思います。



日本、雨温図の見分け方
 タクヤさんから、質問メールをいただきました。ありがとうございます。

送信者:タクヤ
日付:2016/05/21 11:46:13
件名:日本の気候がわかりません。教えてください!
ホスト:182.250.246.226
--------------------------------
僕は中2です!母の携帯を使っているためメアドは女っぽいですが男子です。

中2の一学期の範囲のグラフを見てこの降水量と平均気温だったら○○県だ。とかそういうのがさっぱりわかりません。教えてください!
--------------------------------



  日本の気候は、なぜそうなるのかも理解しながら覚えると記憶しやすいです。

 まず、日本海式気候。日本海に面した新潟県、石川県、鳥取県などです。

 冬には、北風が吹きますね。大陸から風が吹いてきます。日本海の上を通ってくるので、その風には水蒸気がたくさんふくまれます。
 そして、日本の本州の中央を走る山脈にぶつかり、上昇気流となります。

 中2理科で学びますが、上昇気流になると雨や雪を降らせます。

 だから、日本海側の県では、冬に降雨量が多くなります。降雪も含みます。
 雨のグラフが冬に多いのは、日本海側の県です。
 降雨量の棒グラフがV字型になっているのが特徴。代表は新潟県。

 夏は逆です。
 南の方、太平洋から風が吹いてきます。
 太平洋の水蒸気を含んだ空気が日本本州、四国の中央を走る山にぶつかり、雨を降らせます。

 だから、太平洋に面した都府県では、夏に雨が多い。
 梅雨、台風も影響します。
 降雨量の棒グラフは山形になります。東京などです。

 次は瀬戸内海。
 瀬戸内海の北には中国山地、南には四国山地があります。
 冬、北からふいてきた風は山陰地方に雨、雪を降らせ
 夏、南からふいてきた風は南四国に降らせます。
 だから、瀬戸内海地方を吹く風は夏も冬も乾いた風です。雨を降らせません。
 年中雨が少ないのです。

 降雨量の棒グラフが1年を通して低いのは瀬戸内海です。広島など。

 次に覚えたいことは、水は暖まりにくくて、冷えにくいということ。
 夏、砂浜を歩くと砂が熱くて足の裏が焼けそうですが、海水に入ると冷たいです。
 冬、陸では寒くても、水の中は比較的あたたかい(ぬるい)。まあ、冬に海に入るひとはあまりいないでしょうが、そうなのです。

 南西諸島は小さな島なので、まわりは海です。
 海水の影響で、冬もそれほど寒くなりません。そして、夏はそれほど暑くなりません。
 気温の折れ線グラフをみると、他の地方に比べて、とてもなだらかです。差が小さいのですね。
 沖縄は暑いと思われていますが、夏の気温は本土ほどではありません。直射日光はきびしいのですが。

 次は長野などの内陸性気候。

 沖縄と逆です。まわりに海はありません。陸地だけ。あたたまりやすくて冷えにくい。
 だから、夏はとても暑くなり、冬はとても寒くなります。
 気温の折れ線グラフは他の地方に比べて、急になっています。急にあがって、急に下がる。年較差が激しいといいます。

 北海道の気候は、寒いということです。
 地球の北半球では、一般に北は寒くて、南は暖かい。
 北海道は、北なので寒い。
 12月、1月、2月などは、氷点下まで下がります。それはイメージできますね。
 北海道には梅雨がないので、6月ごろに降雨量グラフが高くなることはありません。

 以上のように、なぜそうなるのかと考えながら、グラフを見たら、分かりやすいと思います。
 



CDをスマホで聞く。ファイルWMAとMP3
 CDの音楽などをパソコンで取り込み、スマホに同期させ、聴く方法を書きます。

 基本的なことについては、あちこちのページに書いてあります。

 ただ、その通りにすると、ファイルの形式がWMA(Windows Media Audio)になります。

 ぼくの使っているスマホはそのWMAを読みとらないようです。それで、聞くことができません。

 MP3ファイルにする必要があります。その方法を書いてあるページは見つからなかったので、ここに書きます。

 まず、CDを挿入し、Windows Madia Player を開きます。

 次がポイントです。
 上、左にある「整理」をクリック。
 「オプション」をクリック。
「音楽の取り込み」をクリック。
 「形式」の右の▼をクリックしし、「MP3」をクリックし、選択します。
 「適用」「OK]を押して、そこは終了。

(一度、MP3を選択すると、次回からは自動的にそれになるようです)

 後は、多くのページで紹介しているとおりです。

 「CDの取り込み」をクリックし、取り込みます。少し時間がかかります。

 スマホとPCをつなぎます。
 「同期」をクリック。

 次もぼくがとまどったところです。
 いったん、左の「アーティスト」「アルバム」「ジャンル」のページを開いて、そこから同期させたいファイルやフォルダをドラッグします。

 そして、「同期の開始」
 それで終了です。

 なお、同期させて直後にスマホを開いても、同期させたファイルが見つからないことがあります。

 そのときには、スマホのプレーヤーアプリをいったん終了させてから、再度開くと見つかります。



 (そこにいたるまでの道のり)
 ぼくは、教えてくれる知人がいないので、独学でやっています。教えてくれる人がいれば楽なのですが、それにいたるまでは大変でした。

 Windows Madia Player をつかって、ICレコーダーにCDの音楽などを取り入れることはでき、聴くこともできました。

 同じ要領で、スマホでも、と思ってやったのですが、聞けません。
 試行錯誤の結果、ファイル形式のせいだと気づきました。

 ぼくのスマホはWMA形式は読みとらないようです。

 それで、無料のアプリで、WMA形式を読みとるのを探し出し、スマホにダウンロードしました。うまくいきました。

 しかし、しばらくすると、試用期間が過ぎたので、購入しなさい、とのこと。
 「無料」というのは、無料試用期間がある、という意味だったのです。インチキだなあと思いました。

 お金を出すのはいやなので、別の方法をさがしました。WMA形式を読みとる無料のアプリはないようなので、
 PCで、WMA形式をMP3に変換するソフトを見つけ、ダウンロードし使いました。うまくいきました。

 聞けるようになったのです。

 でも、変換するのも手間がかかるので、もっと簡単な方法はないか、と探したところ、上の方法が見つかりました。

 そこにたどりつくまでは、結構大変でした。

方程式もタイルで
 方程式もタイルで説明すると、分かりやすいです。

 まず、方程式は天びんだよ、ということを理解させます。

 2x+3=13 
 x2本と3個のタイル、それと13のタイルがつりあっています。
houteisiki2x+3=12.jpg


 両方から3個のタイルを取り除いてもつりあいますね。
 2x=10 になります。
houteisiki2x=12.jpg

 両方を半分にする(2でわる)とつりあいます。
だから、x=5
houteisikix=5.jpg


 目で見て納得です。


a+bとab, 2aとa²のちがい。タイルで
 a+b=ab としてしまう生徒がいます。
 前にも書きましたが、答えに(+)のような記号が入るのは基本的に小学校ではなかったからでしょう。

 そのちがいはタイルで表すと明白です。
abtairu.jpg

 また、a×a=2a とする生徒もいます。
 2aとa²のちがいは大きいのですが、見た目では2の位置がちがうだけですから、差はないのでしょうね。

 タイルで表すとちがいが分かります。
2atairu.jpg




文字タイルでの説明のしやすさ
 水道方式では、文字式もタイルで説明します。
 文字式タイルは説明しやすいと感じたことがあります。

 (2a+3)/2 を変に約分して、(a+3)とする生徒が少なくありません。
 片方だけを約分するのです。3はそのままにして。

 それをタイルで説明するとすっきりします。
 「2分の」は「2つに分けること」

 (2a+3)/2は、(2a+3)を2つに分けることです。
 そのままでもいいのですが、どうしても約分するなら、(2a+3)/2 =a+(3/2) ですね。

 タイルを描きながら説明すると、生徒たちはすぐに理解してくれます。

2bunno2amatigai.jpg
2bunno2a.jpg



Yoji著「ひとりで学べる算数 小学4年生」にアマゾンカスタマーレビューがつきました
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5つ星のうち 4.0 いいみたい, 2016/5/6
投稿者 new sky
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持った感じ、重いかな、と思ったが、その重さが子供にはかえってよかったみたいで、勉強してる充実感みたいなのがあるようです。



水槽の水を抜くときには、時間と減り方は比例しない。
マイナスかけるマイナスはなぜプラス( 正の数、負の数のかけ算)

に、メタメタ(高橋誠)さんからコメントをいただきました。ありがとうございます。

 「水槽の水を抜くときには、時間と減り方は比例しない」というのです。

 考えてみたら、確かにそうですね。

 水をぬくのは、水圧で水を押し出しているのですね。

 水を抜いていたら、水深が浅くなってきます。
 水深が浅くなると、水圧は小さくなります。水圧は水深で決まるのですから。

 水圧が小さくなると水が流出する量は少なくなります。

 そうすると、時間と水位の下がり方はだんだん小さくなります。
 比例しなくなるのは、当然ですね。

 一歩立ち止まって考えれば、なんということないことですが、それをしていませんでした。
 そこに気づかせてもらったことに対し、メタメタ(高橋誠)さんに感謝いたします。

 でも、水道方式の、水槽を使った正の数、負の数のかけ算の説明は見事ですね。それをなくすのはもったいない。
 それで、「水位は時間に比例して、低くなるとして」と但し書きをつけての説明でどうかと思いますが、どうでしょうか。

問題文の数を使って式を作ること
 メタメタ(高橋誠)さんからコメントをいただきました。それをもとに冷静に再度考えてみました。

 ぼくは、これまで
「できるだけ、問題文の数を使って式を作る」ということで教えてきましたし、
いまもそう思っています。

 ただ、批判されたものですから、反発し、かたくなになってしまいました。
 批判された反動で、極端に考えてしまいました。

 つまり、「できるだけ」ではなく「必ず」という立場で意見を述べてしまったのです。

「必ず、問題文の数を使って式を作るべきだ」というように。

 でも、冷静に考えると、それは言い過ぎですね。

 確かに、問題文の数を使った式を書かせたいときには、そのむねを問題に書くべきでしょう。

 それで、

分数のわり算。わり算はわる計算ではなく、1あたりを求める計算
 の次の部分は、

 

1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。

 答えは正解になりますが、問題文の中の3が使われていません。
 だから、式は100×3ではいけないのです。

 式は、100÷1/3でなければいけないのです。


 次のように修正することにします。

 

1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。

 考え方として間違いではありません。
 でも、問題文の中の数を使うのであれば、
 式は、100÷1/3 になります。


(a+2)と2a, 文字式もタイルで。
 中学1年には、文字式を学びます。水道方式では文字式もタイルで理解するようにします。

 aのタイルは、横1,たてaのタイル。aの長さというのは決まっていないので、適当にします。ぼくは描くたびに違う長さになります。

 bのタイルは、 横1,たてbのタイル。aとbの長さはどれが長いというきまりはありません。ただ長さを違えて描くこと。
atobnotairu.jpg

 2a というのは、aのタイルが2本。

 さて、けっこう便利です。
 文字式の計算で、答えが(a+2)になったとします。
  
 それを、(2a) とする生徒が少なくありません。

  小学生のときには、答えの中に、+や-が入ることはありませんでした。もちろん「式を書きなさい」という場合は別ですが。

  (2+3) なら計算して(5)にして答えです。

 (a+2) もそのままではなく、計算したくなるのでしょうね。それで考えたのが(2a) ということでしょう。

 (a+2) と(2a)はちがうものだよ、と教えるときにタイルは有効です。

 次のように、(a+2)はaのタイルと2のタイル。(2a)はaのタイルが2本。
 見て分かりますね。
a+2t2a.jpg


正負のかけざん、タイル算
  前の節では、水位と時間との関係で、正負の数のかけ算を説明しました。

 水槽に水を入れる。基準の時間より後には、増える。だから、プラス。
 基準時間より前は、基準の水位より低い。だから、マイナス。

 水槽から水を抜く。基準の時間より後には、減る。だから、マイナス。
 基準時間より前は、基準の水位より高い。だから、プラス。

 これをタイルでまとめて表してみます。

 真ん中を基準とします。上は、水を入れる。下は抜く。
 時間は右に流れます。基準より右は後、左は前です。
 seifukakezan.jpg

 これを見ながら、
 (+)×(+)=(+)
 (+)×(-)=(-)
 (-)×(+)=(-)
 (-)×(-)=(+)
 ということが理解できればいいのですが。




マイナスかけるマイナスはなぜプラス( 正の数、負の数のかけ算)

 正の数、負の数のかけ算です。

 水道方式では、まず水量で説明します。(その他、考えられるでしょうが、ここでは一例として)

 水槽に水を入れます。ある時間のある水位を0分、0cmとします。

 1分間に3cm、水位が上がります。

 基準の水位(0cm)から4分後には
  (+3cm)×(+4分)=(+12cm) になりますね。
3x+4.jpg

 (+)×(+)=(+) です。


 1分間に3cm水位が上がる。基準の水位の4分前の水位はどうか。

 4分前には、水位は基準の高さより低かったはずですね。マイナスです。
 だから、
  (+3cm)×(-4分)=(-12cm) になりますね。
3x-4.jpg

 (+)×(-)=(-) です。

 次は水を抜く状況で考えます。排出するのです。
 すると、水位はだんだん低くなっていきますね。

 1分間に3cm、水位が下がります。

 基準の水位(0cm)から4分後にはどうか。
 水位は低いはずです。だから、

  (-3cm)×(+4分)=(-12cm) になりますね。
 4分後には、水位は基準より12cm低くなるのです。
-3x(-4.jpg

 (-)×(+)=(-) です。

 最後です。1分間に3cm、水位が下がります。

 基準の水位(0cm)から4分前の水位はどうか。

 水が抜かれている。基準のときより前はそれより高いですね。

 だから4分前には
  (-3cm)×(-4分)=(+12cm) になります。
 4分真rには、水位は基準より12cm高かったのです。
-3x-4.jpg

 (-)×(-)=(+) です。

 マイナスかかるマイナスイコールプラス
 と機械的に暗記して、計算している生徒が少なくありません。

 ぼくもその中のひとりでした。

 ときどき、ふと立ち止まって、なぜそうなの? と質問する生徒がいます。
 そういう生徒には上のような説明をしてあげます。

 それと、
 西から東に向かって車が走っている。ある時間のある地点を基準とする(0分、0km)
 1分間に300m、基準の時間より4分前は車はどこにいた?
 ということで話をすると、感心して聞いてくれます。




  




引き算を、反数の足し算に直す
 前の節では、タイルを使った引き算を紹介しました。見事な説明ではありますが、めんどうですね。

 ふつうは、引き算を反数の足し算に直してから計算します。その方が楽です。楽な方が計算の間違いは少なくなります。
 反数というのは、絶対値は同じで符号が反対の数です。
 +3の反数は-3,また、-3の反数は+3です。

 まず、(+5)-(+3)
 5個の白タイルから3個の白タイルを取るのです。残りは2個の白タイルです。
 だから、(+5)-(+3)=(+2)
5-3.jpg


 この式を反数の足し算にすると
 まず、(+5)+(-3)になります。
 5個の白タイルに3個の赤タイルを加えるのです。すると、3個の白タイルと3個の赤タイルが消えて、2個の白タイルが残ります。。
 だから、(+5)+(-3)=(+2)
5+-3.jpg

 反数の足し算も同じ答えになりました。
 3個の白タイルを取ることと、3個の赤タイルを加えることは同じ意味を持つのです。

 赤タイルを3個加えると、赤タイル3個と白タイル3個がなくなるので、白タイル3個を取ることと同じことになるのですね。

 この正の数の引き算は、そのまま引き算の方がずっと分かりやすいです。なぜ面倒なことをするんだと思われるのですが、後々で効果がでてきます。

 (-5)-(-3)と(-5)+(+3)
 -3を引くことは、赤タイルを3個取ることです。
 それに対して+3を加えることは白タイル3個を加えること。
-5--3.jpg


 白タイルを3個加えると、白タイル3個と赤タイル3個がなくなるので、赤タイル3個を取ることと同じことになるのですね。これも引き算の方が分かりやすい。
 
 次は、(+3)-(+5)
 3個の白タイルから5個の白タイルを取るのですが取れません。2個足りませんね。
 だから、白タイル2個と赤タイル2個を加え、白タイルを5個取るのでした。
 すると、2個の赤タイルが残るので
 (+3)-(+5)=-2 になります。
+3-+5.jpg

 上で説明したように、白タイルを5個取るということは、赤タイルを5個加えるということです。

 だから、(+3)+(-5) 白タイル3個に赤タイル5個。白赤タイル3個が消えるので、残りは2個の赤タイル。同じになりましたね。
 だから、
 (+3)-(+5)=(+3)+(-5)=-2 になります。

 このあたりからは、引き算より、反数の足し算の方が楽ですね。

 以下、同じように考えます。

 (-3)-(-5)=(-3)+(+5)=+2
-3--5.jpg

 (-3)-(+5)=(-3)+(-5)=-8
-3-+5.jpg


 (+3)-(-5)=(+3)+(+5)=+8
+3--5-.jpg

 になります。

 後半は、引き算より反数の足し算の方が理解しやすくなっていますね。
 

 正の数、負の数の引き算、タイル算

 水道方式では、正の数、負の数もタイルで説明しますが、その引き算の説明はすばらしいです。これも感動もの。

 簡単には説明ができないのを説明してくれるからすばらしいです。

  まずは、
  (+5)-(+3)=(+2)
  (-5)-(-3)=(-2)

 これは簡単に説明できるので、別におもしろくもないです。

 白タイル5個から白タイル3個をとる。すると残りは白タイル2個。
 赤タイル5個から赤タイル3個をとる。すると残りは赤タイル2個

 問題ないですね。

 問題は次です。
  (+3)-(+5)

 白タイル3個しかないのに5個の白タイルを取らなければいけません。
 そのままでは取れませんね。さあ、どうするか。

 白タイルを5個にするのです。

 水量で、基準から1cm上昇し、1cm下降すると0になりました。
 (+1)+(-1)=0 です。

 白タイル1個と赤タイル1個で、0です。
 白タイル2個と赤タイル2個でも、0です。

 白タイル3個に、白タイル2個と赤タイル2個を加えます。
 すると、白タイル5個と赤タイル2個になりますね。これは意味としては白タイル3個と同じです。
 それからだと白タイル5個を取ることができます。
3-5.jpg

 すると、残ったのは赤タイル2個。

 だから、(+3)-(+5)=-2 になります。

 ぼくは、3万円しかもっていないが、5万円の服を買いたい。
 そこで、2万円借金をして、服を買う。5万円支払うのです。
 すると2万円の借金(-2万円)だかが残る、ということで説明しています。

 以上が理解できたら、後は楽です。

  (-3)-(-5)
 赤タイル3個から赤タイル5個を取りたい。
 白タイル2個と赤タイル2個を加え、白タイル2個と赤タイル5個にして赤タイル5個を取ると、残りは白タイル2個。
  (-3)-(-5)=+2

  (+3)-(-5)
 白タイル3個から赤タイル5個を取りたい。
 白タイル5個と赤タイル5個を加え、白タイル8個と赤タイル5個にして赤タイル5個を取ると、残りは白タイル8個。
  (+3)-(-5)=+8

  (-3)-(+5)
 赤タイル3個から白タイル5個を取りたい。
 白タイル5個と赤タイル5個を加え、赤タイル8個と白タイル5個にして白タイル5個を取ると、残りは赤タイル8個。
   (-3)-(+5)=-8
seifunohikizan.jpg

 どうでしょうか。ぼくは素晴らしい説明だと感動したものです。
 ただ、「引き算は足し算に直し、異符号の場合は引き算をして・・・・・」
 と計算の方法だけを覚えて、計算できればいい、とするのではなく、タイルの操作で引き算をして理解するということが大切ですね。

 実際には、足し算に直してから計算したほうが分かりやすいです。それについては次回に。



正の数、負の数の足し算、タイル算
 水道方式では、正の数、負の数もタイルで説明します。
 正の数を白いタイル、負の数を赤いタイルで表すのです。

 その引き算の説明がとてもおもしろいです。
 でも、その前に足し算から。

 基準値から1上がり、そして1下がると基準値(0)に戻りますね。
 (+1)+(-1)=0 です。

 白いタイル1個と赤いタイル1個で、打ち消しあってなくなるのです。

 図は、下にまとめて描きました。
 足し算は分かりやすいでしょうから。

  (+2)+(+3)=(+5)
  (-2)+(-3)=(-5)
  同符号の足し算では、絶対値を加えて、その符号をつけます。

  (-2)+(+3)=(+1)
  (+2)+(-3)=(-1)
  異符号の足し算では、絶対値の差に、絶対値の大きい符号をつけます。

  タイルを実際につかわせ、手で操作させたらいいですね。

  白いタイル1個と赤いタイル1個で消える。残ったのは何タイルが何個か、というように。

 セルフ塾では、タイルを実際に操作させることができなかった。それは残念に思います。

seifutasizan.jpg







負の数の導入
 中学に入ると、正の数と負の数について学びます。

 水道方式では、半抽象的なタイルでの説明の前に具体的な水の量での説明で始まります。
 その説明は特に独創的だという感じをぼくはもちませんでしたが、うまい説明だと感じました。わかりやすい。

 少し急ぎ足で説明します。

 水位が0のところを基準にして、それより水量が上だとプラス(正)、下だとマイナス(負)とします。

 1cm高ければ+1cm、低ければ-1cm。

 また上昇すれば プラス、下降すればマイナスです。

 2cm上昇し、さらに3cm上昇すれば、基準値より5cm高いところにくる。よって
 (+2)+(+3)=+5

 2cm上昇し、3cm下降すれば、基準値より1cm低いところにくる。よって

 (+2)+(-3)=-1

 2cm下降し、さらに3cm下降すれば、基準値より5cm低いところにくる。よって

 (-2)+(-3)=-5

 などです。

 具体的で、イメージがわくので理解しやすいですね。




自己流で解いていると、壁にぶつかることが
 前の記事にコメントをいただきました。

 それに対する回答をここに書きます。

ぼくは、自分なりに工夫して、問題を解くことは大切だと思っています。
 確かに、100×3は間違いではありません。

 だから、分数のわり算を習っていないときに、100×3という式を立てたら、無条件でほめてあげるでしょう。

 しかし、分数のわり算を教えた。しかし、問題文では1/3が与えられているのに、100÷1/3 ではなく、100×3 という式を立てた、ということは、分数のわり算を理解していないということです。
 逆に言えば、ぼくら指導者がその子が十分に理解できるように教え込んでいないということです。

 分数のわり算の意味はきちんと理解して欲しい。だからこそ、100÷1/3 という式を立てるように指導しなければいけないのです。

 まだ1/3程度ならいいのですが、帯分数のわり算が出てきたときに、壁にぶち当たってしまいます。

 分数のわり算というのは、先人が築き上げた合理的な方法です。それを素直に学んで欲しい。それも理解した上で 100×3 という式を書いたときには、賞賛して、文章中の1/3の式も添えてくれ、と言いましょう。

 「15分で30km進む。時速は?」 を 30×4 で解いたのは立派です。ほめてあげたい。

 しかし、 この子は、30÷15/60 という式の作り方を教わったのにもかかわらず、30×4と作るということは、それを十分に理解していない可能性が強いです。

 それもできるが、30×4 にしたならまだいいのですが、そうでないなら壁にぶち当たってしまいます。

 「x分で30km進む。時速は120km」 を方程式にするとき、30÷15/60を理解していなければ難しいです。

 15分なら4倍、45分なら3で割って4倍、40分なら4で割って6倍、35分なら7で割って12倍、13分なら13で割って60倍、a分ならaで割って60倍、つまり、a/60で割る。


 というように思考を自分で進めることができるのなら、いいです。立派です。
 でも、そこまで理解できないままで、自己流で問題を解いていると壁にぶち当たります。そういう生徒を自分でよく考えているから、ということで指導しないのは、指導の放棄です。
   
21人がクラスの60%に該当する。クラスの人数は?
を、21÷3=7 7×5=35 と求めたのおもしろいですね。よく考えたものです。
問題の意味はしっかり理解できています。
それだけ考えたことは、十分にほめるに値します。

でも、その子は
 21÷(60/100) で解く方法を理解していない可能性が高い。理解できるまで教え切れていない可能性です。

 新しい知識を学ぶとき、それが理解できないときに、これまで学んだことをフル活用して解こうとしていることがあるのです。
 それでも解こうとがんばるのは立派です。ほめてあげたい。

 特にテストのときにはそうです。
 テストのときには、泥臭い方法でもいいから、とにかく工夫して解け、とぼくは生徒によく言っています。
 しかし、学習においては、できるだけスマートに解くように指導しています。

 スマートというのは、先人が考え出した合理的な方法です。それよりもさらにいい方法を自分で編み出しているのならもちろんいいです。すばらしい。

 例えば、「1人3個のあめ玉を集めたら12個になった。何人があめ玉を持ってきたのか」という問題で、 式(3×4)  答え(4人) とする子がいます。

 この子の頭の中では、3×x=12 という方程式をつくり、解いたのでしょう。でも方程式を作る力はもちろんないので(3×4)とすると12になるから、ということで考えたのです。

 考え方に間違いはありませんね。それなら、式は(3×4)でいいのでしょうか。

 この子は、わり算の概念ができていないので、かけ算で解いたのです。
 わり算という方法を教えてあげなければいけません。

 ちょっと勘のいい子がいました。
 中1になり、方程式を学びます。

 でも、両辺を同じ数でわる、移項する、ということは教わっても、それは使わずに自己流で解いていました。
 適当な数を代入するのです。

 「3x+5=11 xは?」、というとき、勘を働かせてxに2を代入し、
 3(2)+5=11 成り立った、だからx=2 のように。

 間違いではありませんね。よく考えたものです。

 でも、解が分数になるような方程式になると、パニックにおちいて、「こんな問題が解けるはずがない」と怒っていました。壁にぶち当たったのです。

  新しい知識を学ぶとき、それが理解できないから、既知のもので代用するという場合は、新しい知識をきちんと教えるべきです。
 それをしないのは、指導の放棄です。

問題文の数を使って式を立てる
 前々回の記事で

 100÷1/3 とするべき式を100×3 と書く子が多い。
 答えは正解になるが、問題文の中の3が使われていないからだめだ

 と書きました。

 それに対して、
 100×3 でいいのです。考え方が正しければいいのです、というコメントをいただきました。
 そして、数回意見交換をしました。

 その中で、これまでぼんやりと考えていたことが少しはっきりしてきました。そういう意味でもコメントをいただいたことに感謝いたします。

 さて、式はなぜ書くのか。
 それは、自分がどのように解いたのか、その思考した過程を他人に知らせるためです。

 私はこのように考えてこの問題を解きました、ということを見せるためです。

 だから、自分だけが分かるような書き方ではいけないのです。

 科学というのは再現性が大切だ、とよく言われますね。数学でもそうです。

 自分の考えを示し、他人がそれを再現することによって、それが正しいかどうかの判断ができるのです。

 そのためには、自分の思考過程を他人が分かるように示すことが必要になります。

 特に中学2年で学ぶ連立方程式の文章問題では、計算途中の式を書く生徒が少なくありません。文中の数でなくなっているのです。

 立式も計算過程も正しければ、他人にも分からないことはありません。
 でも、そうでない場合は、そもそも式を立てるときに間違えたのか、それとも計算過程で間違えたのか、分かりません。

 再現できないのです。

 どこで間違えたのかを見抜く力も指導者には必要だ、という意見もあります。

 でも、ぼくはそうは思います。
 最初から、読む人(他人)にできるだけ負担をかけないような式を立てるように生徒を指導すれば、いいのです。

 いろいろ考えて、ああ、あなたはこのように考えたのですね、というのではなく、式を見たらすぐにその考えが分かるようにするのです。

 確かに、他人に負担をかけないように、というのはどういうのかを理解するのは、小学生、中学生には難しいです。

 でも、問題文の中の数を使って式を立てる、ということを指導するのは難しいことではありません。それが他人に自分の思考を見てもらう一歩です。

 小学生のときから、そのような指導をすべきだと思うのです。

 100×3 と書いてきたら、これではだめだ、文中の数を使って書き直しなさい、と言うのです。もちろん、そでができるように前もって指導する必要はあります。

 「太郎君と花子さんが10個の飴を分けます。同じ数ずつ分けるとすると1人何個でしょうか?」という問題では、2という数はないので、式が立てられない、という意見がありました。

 でもそこでは2人というのは文の中で与えられています。それを見つけるのはだれにも負担になりません。

 直径3cmの円の円周は、では、3.14という数を使うのは当然ですね。

 文中の数を使うというのを機械的にとらえないでもらいたい。


分数のわり算では、なぜひっくり返してかけるのか
 ケーキ3個で300g。1個では何gかは、 300÷3 
 ケーキ1/3個で100g。1個では何gかは、100÷1/3 で求めるということを前の記事で書きました。

 この節では、ケーキ2/3個で200g。1個では何gかを考えてみます。

  式は200÷2/3 になりますね。

  これは、まず1/3個で何gかを求めます。
  2/3個で200gなので、半分にすればいいですね。

 つまり、1/2になります。

bunsuuwarizan5.jpg

 200×1/2 =100 

 100gが1/3個の重さです。

 1個の重さを求めるのですから、その3倍です。

 100×3=300
 1個の重さは300gになりました。

 式は200÷2/3
 まず200×1/2 をして ×3をしました。
 bunsuuwari6.jpg

 まとめると、200×1/2×3
 さらにまとめると、200×3/2 です。

 200÷2/3 =200×3/2 になりました。

 このようにして、分数のわり算は分子と分母をひっくり返してかけることになるのです。




分数のわり算。わり算はわる計算ではなく、1あたりを求める計算
 わり算は、「わる計算」ということで、割ったり、分けたりするものというイメージがありますね。
 整数のわり算ではそれで理解して十分です。

 でも、分数や小数の場合には、それでは理解できません。

 わり算というのは、1あたり量(単位あたり量)を求めたり、いくつ分を求めるときに使う計算です。
 ここでは、1あたり量を求めることに限ることにします。

 ケーキ3個で300g。1個では何gか。 
 300÷3 で求めますね。わり算です。分けています。そして、1個の重さを求めているのです。

 ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。
 上の場合と似ています。3個が1/3個になっているだけです。
 1個の重さを求めているという点でも同じです。

 だから100÷1/3 で求めるのです。

 1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。

 考え方として間違いではありません。
 でも、問題文の中の数を使うのであれば、
 式は、100÷1/3 になります。

(指摘を受けたので、文の一部を修正いたしました)

100w3b1.jpg

 そして、100÷1/3=100×3=300

 このようにひっくり返してかけるのです。

http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4774.html



分数のかけ算もタイルで
 分数のかけ算をタイルでやってみます。

 まずは、簡単に真分数×整数で、 2/5(5分の2)×3

 次のようになります。5分の1が6個で5分の6,帯分数になおすと1と5分の1,いいですね。
bunsukakezan1.jpg

 次は、真分数×真分数、⅖ (5分の2)×3/4
bunsukake2.jpg

全体(1)を5×4に分けてあるので、1つの長方形は1/20(20分の1)、それが2×3個の6個あるので、6/20 (20分の6)です。

 だから、分子同士、分母同士をかければいいのですね。

 帯分数×帯分数をしてみます。
 1・⅖×2・3/4(1と5分の2かける2と4分の3)
bunsukake3.jpg

 仮分数にすると、7/5×11/4 次のようになります。
bunsukake4.jpg

 1を横に5,たてに4に区切ってあるので、1つの長方形は20分の1
それが、7×11の77個あるので、77/20(20分の11)、3と17/20

 帯分数を仮分数にして分子同士、分母同士をかければいいことが分かりますね。







帯分数、仮分数の理解もタイルですっきり
 帯分数を仮分数に直したり、逆に仮分数を帯分数に直したりすることがよくありますね。

 機械的にやりかただけを覚えていたら、しばらく後でどうやるのだったか思い出すのが大変です。

 ちゃんと意味を理解していれば大丈夫です。

 タイルで表すと、 2 ⅓(2と3分の1)は、一のタイル2個と、3分の1のタイル。
2t3b1.jpg

 それを仮分数にしてみます。
一のタイルを3つに分け、その3つ分、つまり全部は、3/3(3分の3)
 それが2つで6/3(3分の6)です。
3bunno7.jpg

 だから2 ⅓(2と3分の1)は、6/3と1/3で、7/3(3分の7)になります。
 目で見て、すっきり理解できますね。

 計算のやり方を忘れたら、ちょちょいとタイルを描いてタイルの数を数えればいいです。
 自分でタイルを描くことができるまで理解したらいいですね。

 逆も同じようにできます。説明は不要ですね。

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