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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している
 kankyoさんから、次の記事にコメントをいただきました。ありがとうございます。
割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。

タイトル:割算は1当たりの量を求めることについて
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数年前から割算がすっきりと理解できず、苦しんでいる47歳男性です。
検索してここにたどり着きました。

興味深く読ませて頂いたのですが、次のところで止まってしまいました。

【記事引用】

「分ける」というのではなく、、全体量÷いくつ分 をして、1当たり量を出す操作のことを割り算という、と考えましょう。

4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。

【記事引用終わり】

上の4行目の理由が3行目になる、つまり3行目が成立するから4行目も成立する、
と言われていると思うのですが、私にはなぜそう言えるのかが分かりませんでした。

3行目と4行目はそれぞれ独立した事象であって、
3行目が成立が4行目の成立を自動的に導いていないように思えます。
それを導くには、3行目と4行目の間をつなぐなにかが必要ではないでしょうか。

私なりに考えたのですが、

200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

では、1個の場合は何円になるか。

答え方としては、

(円)が(個)の800倍になるということが常に成立すると仮定すれば、
つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある仮定すれば、
1個の値段は、1×800=800円になる。

ということになるのではなでしょうか。

つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある、
という条件を言わなければならないと思うのです。

こういうことから、私は、
無条件に、割算は1当たり量を求めること、とは言えないような気がするのです。
割算とは単に、与えられた量どうしの倍率関係を求めること、なのではないかと思います。

そして、与えられた量どうしが正比例の関係にあると条件づけるならば、
そこではじめて、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのだと思います。
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 4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。


 という部分に、論理的な飛躍があるとのことですね。
 それについて、改めて考えてみました。その機会を作ってくださったことに感謝いたします。

 その飛躍を埋めることは次回に書きます。
 ここで、コメントの中の件で2点述べます。

 200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

 という点。

 ふつう、「何倍か」というときには、同じ単位になります。
 200円は40円の何倍か。
 200個は1/4個の何倍か。
 これはいいです。

 単位をつけずに 200は1/4の何倍か、もいいです。

 でも、200円は1/4個の何倍か、は考えられません。

 1/4個の800倍は、200個です 200円にはなりません。

 1/4個を何倍しても200円にはならないのです。


 次に、かけ算、割り算は、常に正比例を仮定しています。

 正比例というのは、x=0のときy=0
 そして、均一に変化することです。

 1匹に6本の足がある虫、5匹では足は何本になるか。
 その場合、すべての虫はそれぞれ6本の足がついているのです。
 1匹は事故で足を失い5本しかない、または突然変異で7本の足のある虫、などを入れては掛け算は成り立ちません。
 また、0匹では0本の足ですね。

 12dLのジュースを3人に分ける。1人いくらか。
 その場合、12÷3 にするには、均一に分けるというのが条件です。

 1人は2dL,別は4dL、などとしてはいけないのです。

 ジュース全体をy、子供の人数をxとすると、y=4x という正比例の関係でなければいけないのです。

 1/4個で200円のケーキ。別の1/4個も200円、さらに別の1/4個も200円。
 だから、1個では800円になるのです。

 すべて均一でなければいけないのです。

  このようにかけ算、割り算では、与えられた量どうしが正比例の関係にあるといえます。
 だから、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのです。



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