前回と前々回の記事は理解できましたか。

「ボートレース　”ローレンツの短縮”完全理解への一歩」
同時に着くようにするボートレース　”ローレンツの短縮”完全理解への二歩目


　これまでのことが理解できれば，もう一歩です。この記事で完全に理解できます。

　今度は，文字式です。
　光の速さをckm/秒とします。ボートの速さをイメージしてください。
　エーテルという仮想の物質の流れをv km/秒とします。川（水）の流れの速さをイメージ。
　片道c kmのレースです。折り返し地点には鏡がおいてあるので，光は反射して戻ってきます。

　エーテルは図の右から左に流れています。

　横切る場合です。ボートの場合とまったく同じです。文字式になっただけ。



　三平方の定理でtを求めます。

　(ct)² = (vt)² + c²
　(ct)² - (vt)² = c²
　(c² - v²)t² = c²
　t² = c² / (c² - v²)
　t = √{c² / (c² - v²)}

往復なので
　2t = 2√{c² / (c² - v²)}　・・・・①

　今度は，エーテルの流れに平行に進む光です。ここではS kmを進むとします。折り返し地点には鏡があります。



　行きは流れに押されるように進むので，速さは(c+v)km/秒
　帰りは流れに逆らうように進むので，速さは(c-v)km/秒

行きの時間は，S/(c+v)
帰りの時間は，S/(c-v)

往復の時間は　
S/(c+v)＋S/(c-v)
= S(c-v)/(c+v)(c-v)＋S(c+v)/(c+v)(c-v) ・・・通分
={ S(c+v)＋S(c-v)}/(c+v)(c-v) ・・・足す
= S(c+v+c-v)/(c²-v²) ・・・分子はSでくくる。分母は展開
= 2Sc/(c²-v²) ・・・分子のvが消える
2Sc/(c²-v²)・・・・②
　これが，流れにそって往復した光の時間です。

　この時間②と流れに垂直に進んだときの時間①を等しくするために，＝で結びます。

2Sc/(c²-v²)＝2√{c² / (c² - v²)}
S＝2×(c²-v²)/2c{√{c² / (c² - v²)}×
　　・・・両辺を2c/(c²-v²)で割る
＝(c²-v²)/c{√{c² / (c² - v²)}・・・2を約分
＝{√{(c²-v²)²c² / c²(c² - v²)}・・・(c²-v²)/c　を二乗して，√の中に入れる
＝√(c²-v²) ・・・　c²(c² - v²)で約分
＝√(c²-v²) ・・・　√の中をc²で割る
＝√(c²/c²-v²/c²) ・・・　√の中をc²で割る
＝√1-(v/c)²) ・・・　これでローレンツの短縮の式ができあがりです。

　ぼくも，学びながらですが，これでいいと思います。
　もし，間違えているところがありましたら，教えてください。