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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

これで,”ローレンツの短縮”は,完全理解
 前回と前々回の記事は理解できましたか。

ボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への一歩
同時に着くようにするボートレース ”ローレンツの短縮”完全理解への二歩目


 これまでのことが理解できれば,もう一歩です。この記事で完全に理解できます。

 今度は,文字式です。
 光の速さをckm/秒とします。ボートの速さをイメージしてください。
 エーテルという仮想の物質の流れをv km/秒とします。川(水)の流れの速さをイメージ。
 片道c kmのレースです。折り返し地点には鏡がおいてあるので,光は反射して戻ってきます。

 エーテルは図の右から左に流れています。

 横切る場合です。ボートの場合とまったく同じです。文字式になっただけ。

rorents1.jpeg

 三平方の定理でtを求めます。

 (ct)² = (vt)² + c²
 (ct)² - (vt)² = c²
 (c² - v²)t² = c²
 t² = c² / (c² - v²)
 t = √{c² / (c² - v²)}

往復なので
 2t = 2√{c² / (c² - v²)} ・・・・①

 今度は,エーテルの流れに平行に進む光です。ここではS kmを進むとします。折り返し地点には鏡があります。
rorents2.jpeg


 行きは流れに押されるように進むので,速さは(c+v)km/秒
 帰りは流れに逆らうように進むので,速さは(c-v)km/秒

行きの時間は,S/(c+v)
帰りの時間は,S/(c-v)

往復の時間は 
S/(c+v)+S/(c-v)
= S(c-v)/(c+v)(c-v)+S(c+v)/(c+v)(c-v) ・・・通分
={ S(c+v)+S(c-v)}/(c+v)(c-v) ・・・足す
= S(c+v+c-v)/(c²-v²) ・・・分子はSでくくる。分母は展開
= 2Sc/(c²-v²) ・・・分子のvが消える
2Sc/(c²-v²)・・・・②
 これが,流れにそって往復した光の時間です。

 この時間②と流れに垂直に進んだときの時間①を等しくするために,=で結びます。

2Sc/(c²-v²)=2√{c² / (c² - v²)}
S=2×(c²-v²)/2c{√{c² / (c² - v²)}×
  ・・・両辺を2c/(c²-v²)で割る
=(c²-v²)/c{√{c² / (c² - v²)}・・・2を約分
={√{(c²-v²)²c² / c²(c² - v²)}・・・(c²-v²)/c を二乗して,√の中に入れる
=√(c²-v²) ・・・ c²(c² - v²)で約分
=√(c²-v²) ・・・ √の中をc²で割る
=√(c²/c²-v²/c²) ・・・ √の中をc²で割る
=√1-(v/c)²) ・・・ これでローレンツの短縮の式ができあがりです。

 ぼくも,学びながらですが,これでいいと思います。
 もし,間違えているところがありましたら,教えてください。

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