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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の表面積、体積の教え方
 メールをいただきました。ありがとうございます。

そちらの、わかる解けるできる中学数学を使用させていただいております。

現在中学一年生なのですが、学校では移行措置の球の体積・表面積を学習しています。
わかる解けるできるには新学習要綱の単元が載っていないため、この球の体積表面積をどのように教えていいのか困っております。
教科書付属の補助教材では、明確な証明はなく、ただ単に水をいれてはかったら、二杯入りました、という説明です。
体積を求めようと思うと、ピタゴラスの定理、ガバリエリの原理などから説明する必要があると思うのですが、何か簡単な説明方法はありますでしょうか。
また、これからも移行措置でわかる解けるできるにはない単元が出てくると思うのですが、それらを学習できる教材はありますでしょうか。



 移行措置に関しては、まだ教材はできていません。作りたいとは思っていますが、いつになるか分かりません。

 さて、球の表面積、体積の教え方です。ぼくはそれが削られる前には、次のように教えていました。この方法は、麦の芽出版の「たのしい数学」にあったものです。表面積に関しては、次のような説明しかできません。

球は残念ながら展開図ができません。しかし、球面を図のように同し幅(AB=BC=…)の細い帯に切りはなすと、それぞれの帯は平面に展開でき、おうぎ形の方法て面積が求められます。
ball.jpg

アルキメデスはこのたくさんの細い帯の面積の和をたくみに計算して、

球の表面積をS、半径をrとすると
S=4πr²

 を求めました。

 いっしょに次のような問題もやってみましょう。
 球をビッタリとつつむ円柱の側面積を求めなさい。
ballno.jpg

 球の表面積とまったく同じ式が出ます。

 次は、球の体積の求め方です。

 球を球の中心を通るように、真ん中から半分に切ります。そしてまた半分に切ります。このようにして小さく切っていきます。そのときに球の中心を必ず通るようにします。

 すると高さが半径rの錐体がたくさんできます。その錐体の底面積をsとすると、体積は rs/3

 球を100等分したとしたら、sの大きさは、球の表面積の100分の1
 s=4πr²×1/100

m等分したとしたら、
 s=4πr²×1/m

だからその錐体一つの体積は
 r×(4πr2×1/m)×1/3

 その錐体がm個集まれば、球になりますね。

 だから、球の体積は
 r×(4πr²×1/m)×1/3 ×m 
 =4πr3×1/3

 なお、球は、それをビッタリとつつむ円柱の体積の3分の2になります。そのことを覚えていると、球の体積も簡単に覚えられます。

 アルキメデスは、いろいろ発見をした人ですが、この球は一番気に入っていたようです。それで、彼の墓には、球とそれをぴったりつつむ円柱の絵が描かれているそうです。

 ぼくがギリシアに行ったとき、現地ガイドの方に
「アルキメデスの墓」のことを尋ねたら、見つかっていないとの返答でした。

 ぼくは、アルキメデスが大好きなので、セルフ塾のロゴマークは、それにちなんだものにしました。
セルフ塾のロゴマークとアルキメデス



(次のページも参考にしてください

円すい台側面積の公式を導く

中学1年生でもわかる、球の表面積の公式の導き方

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Comment

 秘密にする

もっといい方法があれば
> 上のコメントを書いた者です。
> 書いてて「あれっ、なんかおかしいなあ」と。よくよく考えて読み返してみたら、上の文章では間違いです。正しくは「球の円柱の側面への射影を考えて、それが長方形」としていました。上のコメントだと、球の表面に沿って考えているかたちなので、それだとあくまで「舟型」ですよ えどがわさんコメントありがとうございます。
今までコメントがあることを気づきませんでした。返事が遅くなって申し訳ありません。

 球の表面積の求め方は、アルキメデスのものよりももっと分かりやすいのはないかなと、僕も思っているところでした。

 特に、球の表面積と、それがぴったり入る円柱の側面積は、全く一緒なのですから、そこに結び付ける方法はないかなと考えていました。

 球の展開図で、ここをこうしてこうすれば、ほら円柱の側面積になるでしょう、みたいな説明ができれば最高だけどな、と考えていました。

  何かいい方法があれば教えて下さい。僕もできるだけ探してみたいと思います。

 これからもよろしくお願いします。ね。
> ただ、「球の、円柱の側面への射影を考えること、そしてそれが長方形で近似可能」の正当性が、どうしても思い出せないのです。(春分の日を考えて、真横から太陽の光が~、とか説明していたような気がするんですが、今の自分の中でどうしても「cos」の概念を出さずには説明ができない!)
> ここが思い出せたら(またはネット等で発見できたら)、あらためて書き込ませて頂きたいと思います。ブログ読者の方も、現時点でのこのコメントは「論理的に不完全な話」として読んでください。
> 大変お騒がせしました。
selfyojji | URL | 2010/03/20/Sat 22:19[EDIT]
上のコメント修正
上のコメントを書いた者です。
書いてて「あれっ、なんかおかしいなあ」と。よくよく考えて読み返してみたら、上の文章では間違いです。正しくは「球の円柱の側面への射影を考えて、それが長方形」としていました。上のコメントだと、球の表面に沿って考えているかたちなので、それだとあくまで「舟型」ですよね。
ただ、「球の、円柱の側面への射影を考えること、そしてそれが長方形で近似可能」の正当性が、どうしても思い出せないのです。(春分の日を考えて、真横から太陽の光が~、とか説明していたような気がするんですが、今の自分の中でどうしても「cos」の概念を出さずには説明ができない!)
ここが思い出せたら(またはネット等で発見できたら)、あらためて書き込ませて頂きたいと思います。ブログ読者の方も、現時点でのこのコメントは「論理的に不完全な話」として読んでください。
大変お騒がせしました。
えどがわ | URL | 2010/03/16/Tue 08:19[EDIT]
球の表面積の捉え方一案
「100マス計算」でこちらに辿りついて以来、東京からいつも楽しみに拝見しております。

球の表面積についてですが、私が以前中学生に教えたときは、上のように「帯」に分割するのではなく、
「(地球に例えた場合)赤道を無限に分割したものを底辺、赤道から極までの距離を高さとした微小長方形」
を意識させ、「それを足し合わせることで円柱の側面積と同じ」と説明していました。
そしてそれは、「円の面積を「円周を無限に分割したものを底辺、半径を高さとした微小三角形」を足し合わせて求める」のと同じだよ、とも教えました。
球の表面積を三角形でなく長方形で評価する理由は、もちろん「底辺(赤道)と高さ(子午線)は常に直角に交わるから」ですが、「極の部分で幅0なのに長方形」の不思議さは、高校での微積分など待たずに、頭の柔らかい子供のうちにこそ触れさせてあげたいと思うのです。

これからも、益々のご活躍期待しております。
えどがわ | URL | 2010/03/16/Tue 03:18[EDIT]
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