ふつう，go to bed は「寝る」という日本語になります。

sleepは「眠る」です。

　まずは，英語から
　go to bed と sleep のちがい

　「エクスプレス　Ｅゲート英和辞典」から引用します。

sleep　と　go to bed
sleep：「眠る，眠っている」という状態を表す。
　　She is still sleeping, 彼女はまだ眠っている。

go to bed：「ふとんに入る」という動作を表す。
　I went to bed at nine last night. 「ゆうべ私は８時に寝た」

　それで，ネット検索をしていみると，次の例文が見つかりました。

I went to bed early, but I couldn’t sleep.
私は早い時間にベッドに入ったが眠れなかった。
http://www.asajikan.jp/culture/english/archives/288

　つまり，早く go to bed したが，　sleep できなかった，わけです。

　これを「早く寝たが，眠れなかった」ではあまりピンと来ません。

　次に日本語の「寝る」と「眠る」の違いを考えてみましょう。次は，ヤフー辞典からです。

[用法] ねむる・ねる――
「毎晩、よく眠る（寝る）」「ぐっすり眠った（寝た）」のように心身の働きが低下して意識的な活動がない状態をいうときには、相通じて用いられる。

◇「眠る」は、体が眠った状態にあることに重点があり、必ずしも横になることを意味しない。「居眠り」のようにすわった状態でも立ったままでもよい。

◇「寝る」は、「さあ、寝るか」「もう寝る時間ですよ」のように横になって眠る意がある。また、今眠っていなくても眠る習慣がある場合にも使う。「寝る子は育つ」「どこででもよく寝るなあ」

◇「深い眠りから覚める」のように、「眠る」に対しては「覚める」が、また「治ってきたが、まだ寝たり起きたりだ」のように「寝る」に対しては「起きる」が対応する。
[ 大辞泉　提供：JapanKnowledge ]

　
「寝る」と「眠る」，違いに着目すると，「寝る」＝go to bed ,「眠る」＝sleep と考えてよさそうです。

　でも「寝る」と「眠る」は，かなり重なっている感じがします。「寝る」にsleepの意味がだいぶあるのですね。

　さて，日本語には「床(とこ)に就(つ)く」という表現があります。

床(とこ)に就・く
１ 寝床に入る。就寝する。「毎晩早く―・く」
２ 病気になって寝る。「熱を出して―・く」
[ 大辞泉　提供：JapanKnowledge ]

　どうでしょうか，（１）の意味は　go to bed　だと思っていいのではないでしょうか。

　上の例文
I went to bed early, but I couldn’t sleep.

　は，「私は早く床についたが，眠れなかった」ということでよく理解できます。

　上の例文の訳のように「ベッドに入る」や英和辞典の「ふとんに入る」としてもいいのですが，日本語には「床につく」という表現がちゃんとあるので，そちらがいいのかな，と思います。