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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

動く点の軌跡、少しインチキな方法を教える。

 中学生は期末テスト対策を行っています。中学2年生の範囲に「一次関数の利用」が入っています。それの一つに「動く点の軌跡」があります。

 次のような問題です。

 右の図のような長方形ABCDの辺の上を、頂点A→B→C→Dの順に毎秒1cmの速さで動く点Pがある。

Pが頂点Aを出発してからx秒後の三角形APDの面積をyc㎡とするとき、点Pが各辺上にあるときのyをxの式で表しなさい。

 また、そのときのxの変域を求めなさい。そしてそれをグラフに書きなさい。
軌跡1




 さて、最初は正攻法で教えました。
 三角形の面積をxを用いて表すと・・・という形です。

 でも、それを説明してあと、U君が「これはわからないな。あきらめるしかない」と云いました。

 それで、「それではちょっとインチキな方法を教えてあげよう」とぼくは言って、次のように教えました。

 長方形の各頂点に点Pがあるときのxの値とyの値を求めるんだ。

 頂点AにPがあるとき、xは0、yも0。

 そして、PがBの点に来たとき、xの値は5。そのときの三角形APDの面積は、5×8×1/2で 20。
軌跡2


 次はそのPが頂点Cに来たとき。
 xの値は5+8で13。y(三角形APDの面積)は
5×8×1/2で 20。
軌跡3


 最後にPがDに来た。
 xの値は、5+8+5で 18。面積はなくなっているのでy=0。

 それを対応表に、次々書き込む。すると、次のようになる。
x051318
y020200


 まずグラフから描く。この対応表ができていれば、その点を打って直線で結べばグラフが出来上がる。

 次は それぞれの2点を取って、2点をとおる直線の式を求めればいい。

 最初は、
点A(x=0, y=0)と点B(x=5, y=20)を通る直線。
 すると y= 4 x

点B(x=5, y=20)と点C(x=13, y=20)を通る直線。
  y= 20

点C(x=13, y=20)と点D(x=18, y=0)を通る直線。
 すると y=-4x+72

 このようにして2つの点をむすぶ直線の式を求めばいい。

 そして xの範囲は表にもすでに出ている。

 上の表を見ると、xの値は、0,5,13,18 となっている。
 これを順に書いていけばいい。
 0≦x≦5, 5<x≦13, 13<x≦18

 y= 4 x (0≦x≦5)
 y= 20 (5<x≦13)
 y=-4x+72 (13<x≦18)

 これでできあがり。

 という感じで教えました。
 こちらの方がずっとわかりやすいと言っています。

 これでも確実に正解になります。

 ただここでは、一次関数の式なので直線になるという事を前提にして、問題を解いています。

 直線になるということを証明していません。そういう点で少しだけインチキな方法ですね。
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