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二等辺三角形を2つ組み合わせた図形の1つの角が90度になる問題の解説
拙著「わかる解けるできる中学数学2年」のp183 [問2](5)がよく理解できないとのメールをいただきました。質問メール、ありがとうございます。

 この問題は、塾の生徒も、わからないと言ってよく質問に来ます。
 自分でできる教材という意味では、未完成なページだと反省しています。

 それで丁寧にここで解説いたします。

 このページは、一見それぞれがバラバラの問題のように見えますが、実はとても深く結びついています。

 そして最後の問題に行きつくのです。

 問1は基本的な問題ですが、これをもとにして解いていきます。

 大切ではありますが、問1はそれほどむずかしくないのでここでの解説は省略いたします。

 問2(1)は次のような問題です。
2touhen1.jpg


(1)(2)は文字式で考える前に、数字で考えてみましょう、ということで作りました。
 文字式はイメージがしにくいからです。

 これは二等辺三角形が二つ組みあわさった形になっています。
それで、次のように描きかえることができます。

2touhen2.jpg

 左側の三角形を見ると 60度と2つのaでできています。三角形の内角の和は180度ですから、 2a + 60 = 180
これを解くと a=60 になります。

右側の三角形をみます。bの角度を求めてからでもできますが、三角形の2つの内角と向かい側の外角の関係で 2c =60 という方程式ができます。

 それで c = 30° になります。

a+c=x ですから 60+30=90 だから(1)の問題は x= 90°になります。

 (2)は次のような図形です。

2touhen3.jpg


 これも二等辺三角形が2つ組み合わされているので、次のように描きかえることができます。

2touhen7.jpg

 左側の三角形を見ると 2a + 50 = 180 という方程式を導くことができます。これを解くと a = 65

 右側の三角形は 2b = 50 という方程式が導かれます。
それで b= 25

x= a+b ですから 65 + 25 = 90 で、 xは 90°になります。

数字でやるとできますね。
これを文字式で一般化すれば、(5)はできるのです。

 次は(3)です。左の図が(3)です。これは文字式で考えてみましょうという問題です。

2touhen4.jpg

 xをaをもちいてあらわします。二等辺三角形ですから、もう一つの角は xです。それで a+2x= 180 という方程式が導かれます。

この方程式を解くと x=(180 -a)/2 になります。

右側の図形が(4)です。

 これは2x=a という方程式が成り立ちます。

 それで x = a/2 となります。

 さて、ここで問題の(5)です。
2touhen5.jpg

 この図形は(3)(4)の二つの三角形が組み合わさってできていることが理解できれば、それほど難しくありません。よく見て、(3)(4)の組み合わせた図形だということを理解してください。(3)は、分かりやすいように、本の図を横にしました。

 僕は、そのつながりでこの問題を解かそうと思っていたのですが、それを生徒に意識化させることが出来なかったようです。

 これまでの問題を参考にして解くように、どこかに書けばよかったと思っています。

 この図形は、次のように描きかえることができます。

2touhen6.jpg

 yをaをもちいてあらわすと (3)の問題と同じですから

 y=(180 -a)/2 です。

 右側のzのある三角形をみます。向かい側の外角はaですから、
2z=a それを解くと z=a/2です。

この問題の x は y+zとなっています。

 y=(180 -a)/2 , z=a/2 なので

 x = y+z
= (180 -a)/2 + a/2
= (180 - a + a )/2
= 180/2
= 90
です。
だから、x=90 という値が出てくるのです。

 これで理解できたでしょうか。

 このように前の問題がヒントになっているのですが、それをきちんと伝えることが出来なかったのが、この教材の未熟なところです。


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