セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。
【問】 1/3(L)のペンキで1/5(m2)ぬれます。1Lでは何m2ぬれますか。
の式は、1/5÷(1/3)になります。

また

【問】1/3(L)のペンキで2/5(m2)ぬれます。1Lでは何m2ぬれますか。
は、2/5÷(1/3)になります。

 なぜ、そうなるのか、詳しく説明して欲しい、との質問が朝日小学生新聞の読者からいただきました。


 お答え致します。

 まず、割り算の意味を、きちんとを理解する必要があります。

 割り算を、分けること、割ることだと思っている人が少なくありません。いや、ほとんどの人がそう思っているでしょう。

 でも、それは正しいとは言えません。

 割り算は、
いくつ分と全体量が与えられて、1当たり量(単位当たり量)を求める操作です。

 具体的に説明します。

 4個で200円のリンゴAと、5個で 240円のリンゴB,どちらが安いか、という時、それぞれ 1個当たりの値段(単価)を出しますね。

 200円÷4個=50円/個。240円÷5個 =48円/個。それでリンゴBの方が安いと判断しますね。

 主婦のみなさんはよくやっていることだと思います。
 この時は割り算をしています。そして、それは分けるという操作です。常識的わり算のイメージです。

 ただ、1個当たりの値段を出すという、本来の意味の操作をしていることも確認しましょう。

 この場合、4個や5個を「いくつ分」、そして、200円、240円を「全体量」と言います。
そして、50円/個、48円/個といった単価が「1あたり量」です。

 4個や5個といった「いくつ分」と, 200円、240円といった「全体量」から、50円/個、48円/個という「1あたり量」を出しています。
これが本来の意味です。

 それでは、次の場合はどうでしょうか。
 4分の1個のケーキCが200円。また、5分の1個のケーキDが150円。どちらが安いでしょう。

 たぶん、多くの人は掛け算で求めていますね。

 200円×4=800円。150円×5=750円。ケーキDの方が安い、ということになります。
 もちろん、それで間違いではありません。

 しかし、4分の1、5分の1といった問題に与えられた数を使っていません。

 4分の1個のケーキCが200円で、1個の値段はいくらか、という場合、
1/4個が「いくつ分」、200円が「全体量」になります。

 そして、200円÷(1/4) という式になるのです。

 これを200円を1/4に「分ける」と言っても、意味がよく分かりません。だから、わり算は「分ける」ことだと思ったら、壁にぶつかってしまいます。

 「分ける」というのではなく、、全体量÷いくつ分 をして、1当たり量を出す操作のことを割り算という、と考えましょう。

 4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
 1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。


【問】 1/3(L)のペンキで1/5(m2)ぬれます。1Lでは何m2ぬれますか。

をみてみましょう。

 1/3(L)のペンキが、「いくつ分」で、1/5(m2)が「全体量」になります。そして、1Lでは何m2 という「1あたり量」を求めなさい、ということです。

 だから、(1/5)÷(1/3)になるのです。

 割り算の意味は、分けること、割ることではなく、

 いくつ分と全体量から、1当たり量(単位当たり量)を求める操作だということをきちんと理解することが大切なのです。

 そう考えることで、整数だけでなく、分数や小数まで、わり算を拡大して使えるようになるのですね。

(なお、1あたり量ではなく、いくつ分を求めるのもわり算です。でも、難しくなるので、ここではふれませんでした)


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Re: 割算は1当たりの量を求めることについて
kankyo さま
 コメント、ありがとうございます。

 ブログで回答いたしました。

http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4786.html
selfyojji | URL | 2016/05/27/Fri 12:13[EDIT]
割算は1当たりの量を求めることについて
数年前から割算がすっきりと理解できず、苦しんでいる47歳男性です。
検索してここにたどり着きました。

興味深く読ませて頂いたのですが、次のところで止まってしまいました。

【記事引用】

「分ける」というのではなく、、全体量÷いくつ分 をして、1当たり量を出す操作のことを割り算という、と考えましょう。

4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。

【記事引用終わり】

上の4行目の理由が3行目になる、つまり3行目が成立するから4行目も成立する、
と言われていると思うのですが、私にはなぜそう言えるのかが分かりませんでした。

3行目と4行目はそれぞれ独立した事象であって、
3行目が成立が4行目の成立を自動的に導いていないように思えます。
それを導くには、3行目と4行目の間をつなぐなにかが必要ではないでしょうか。

私なりに考えたのですが、

200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

では、1個の場合は何円になるか。

答え方としては、

(円)が(個)の800倍になるということが常に成立すると仮定すれば、
つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある仮定すれば、
1個の値段は、1×800=800円になる。

ということになるのではなでしょうか。

つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある、
という条件を言わなければならないと思うのです。

こういうことから、私は、
無条件に、割算は1当たり量を求めること、とは言えないような気がするのです。
割算とは単に、与えられた量どうしの倍率関係を求めること、なのではないかと思います。

そして、与えられた量どうしが正比例の関係にあると条件づけるならば、
そこではじめて、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのだと思います。
kankyo | URL | 2016/05/27/Fri 02:37[EDIT]
とてもいい記事ですね。
大変勉強になりました。
| URL | 2016/05/13/Fri 09:36[EDIT]
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