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「AかつB」の確率、なぜ乗法(かけ算)か?
 広島のKさんから、メールをいただきました。ありがとうございます。

今日も確率をやっています。どうも頭が固いようです。「わかる解けるできる数学中学2年」p243の問1 (3)の両方とも・・・・「xから赤が出た確率」のうちの「Yから出た確率」という意味が理解できないのと(樹形図を書いても)(1)と(2)の積になります。と言うところです。( 条件つきではない事は解ります。) 何故積で求めるのかか和でないのかです。
問としてはp(赤 赤)や(白 白)と同じ色で問てくるのでしょうか。
 
 余事象は加法定理でも求められますね。先々いけないよと言う事が出てくるのでしょうか。今日はこの2点を教えて下さい。よろしくお願い致します。


 次の問題です。

【問1】 赤球2個、白球3個が入った袋Xと、赤球3個、白球4個が入った袋Yがあります。この2つの袋で、Xの袋から1個、Yの袋から1個を取り出します。
(1) Xの袋から出た球が赤球である確率はいくらですか。
(2) Yの袋から出た球が赤球である確率はいくらですか。
(3) 両方とも赤球である確率は、「Xから赤が出た確率」のうちの「Yから出た確率」になるので(1)と(2)の積になります。
 両方とも赤球である確率を求めなさい。


 これをやるまえにケーキを分けてみましょう。
 タイル型のケーキを4等分します。その1つは4分の1ですね。

kakuritu1.jpg

 その4分の1個を3等分します。その1つは4分の1の3分の1です。

kakuritu2.jpg

 このように4分の1の3分の1は12分の1になります。
 (1/4)×(1/3)=(1/12) で計算すればいいことが分かります。
 「4分の1」のうちの「3分の1」ということはそういう意味です。

(1) Xの袋から赤球が取り出される確率はいくらですか。
赤球2個、白球3個なので、5分の2になります。

kakuritu3.jpg


(3) Yの袋から赤球が取り出される確率はいくらですか。
赤球3個、白球4個なので7分の3になります。
kakuritu4.jpg

(4) 両方とも赤球である確率はいくらですか。
 両方とも赤球である確率は、5分の2のうちの7分の3です。
次のタイル図のように表されることが分かりますか。

kakuritu5.jpg


5つに分けて、さらに7つに分けたので5×7の35に分かれます。
その2の3で6個。
だから35分の6です。
だから、(赤,赤)になるのは、
 (2/5)×(3/7)=(6/35) で計算すればいいことが分かります。
上のタイル図で見れば、分かると思いますが、どうでしょうか。

 次に余事象について、同じ問題でいきます。
 少なくとも1回は赤、というのは、つまり、(赤,赤)(赤,白)(白,赤)のこと。2回とも赤でもいいし、Xから赤でもYから赤でもいいのです。

  図にすると、次の青枠で囲んだところです。
kakuritu6.jpg

 だから、(赤,赤)=(6/35)、(赤,白)=(8/35)、
(白,赤)=(9/35)をあわせたものです。
 (6/35)+(8/35)+(9/35)=(23/35)
 このように加法定理で求めることができます。

 ただ、図を見て分かるように、全体を1とするので、1から(白,白)の確率(12/35)を引いても求めることができますね。
 1-(12/35)=(35/35)ー(12/35)=(23/35)

 余事象を知らずに加法定理で求めてもかまいません。
 ただ、余事象で、1から引いた方が楽ですよ、ということです。

 非復元抽出の場合は、計算がめんどうなので、余事象は覚えていた方が楽です。
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