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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

確率、順列か組み合わせか
 広島のKさまから、質問メールをいただきました。ありがとうございます。

 有難うございました。(しつこくてすみません)ついつい甘えてしまいますが、よろしくお願い致します。

リーグ戦のように書いていただいたもので、斜めの線を引いた

左下の部分は右上とダブっていると思うのですが。

例えば(赤,赤)の部分を赤1赤2とした時 (赤2と赤1)は結果として同じ1通りとして考えるのではないでしょうか。2個取る事に変わりないので2個取りだすには10通りあると考えてはいけませんか。

   広島   K




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 次の図のことです。

hifukugen5.jpg

 大切な疑問だと思います。
 これは順列と組み合わせの違いですね。
 順列は、順番も考える考え方、組み合わせは順番を考えないものです。

 (1と2)と(2と1)を違うものとするのが順列、同じものだとするのが組み合わせです。

 (赤1)と(赤2)は、順列で考えると違うもの、組み合わせならと同じものになります。

 組み合わせだと、だから表の右上だけを考えます。

 順列であったにしろ、(赤1)と(赤2)は、区別はできないので、同じとみることもできます。

 ただ、(赤と青)(青と赤)は、順列か組み合わせかでちがってきます。ここで差がでます。

 (青,赤)の確率を求めなさい、という場合は、左下の3×(3-1)の6個を考えます。そして、分母は全体の、5×(5-1)の20を考えます。その場合、(赤1,赤2)(赤2,赤1)は、ちがうものと考えなければいけません。

 さて、(赤,赤)の出る確率を求めてみます。
順列で考えると、
(赤,赤)は、2×(2-1)=2
全体は、5×(5-1)=20
 2/20=1/10

 組み合わせで考えます。
(赤,赤)は、{2×(2-1)}/2=1
全体は、{5×(5-1)}/2=10
 確率は1/10

 どちらも同じになりました。

 確率では、順列で考えても組み合わせで考えても答えは同じになります。順列で考えた場合には後で約分をするので、結局同じになるのです。

 組み合わせの場合には、右上半分だけで考えて解けば正解になります。

 さて、次のような問題がよく出題されます。
「1,2,3の3枚のカードがある。1枚を抜き出し、戻さないで、2枚目を引く。1枚目を10の位、2枚目を1の位とした時、偶数になる確率を求めなさい。」

 この場合には、明らかに順列の問題です。
 (1,2)と (2,1)は、別のものと考えなければいけません。

 このように考えると、中学生には、順列とを組み合わせの違いを教えるより、すべて順列で教えた方が楽なのではないか、と考えたのです。

 組み合わせの問題でも確率になれば答えは同じになるからです。

 「順序はないものとする組み合わせはいくつか」という問題もありえますが、あまりそのような問題を見た記憶がありません。

 ということで、Kさんの考え方は正しいのですが、順列のやり方で教えてもいいのではないかとぼくは考えているところです。高校に進めば、順列と組み合わせを詳しく学びます。

 以上で答えになっているでしょうか。


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