Ｋさまから質問メールをいただきました。
　ありがとうございます。

　又一ご指導お願いします。　最小公倍数の応用問題です。
「６で割ると１余り８で割ると３余る正の整数を２４で割った時の余りを求めよ。」という問題です。割る数とあまりの数に着目し（1+5＝6　3+5＝８）
６と８の最小公倍数を求め（２４）２４-5＝19　としました。
該当する数は１９.38.57.76.95.114.133.まで求めこの中からどのような方法で見つけ出すのか解りません。解決方法が基本的に間違っているのでしょうか。最小公倍数の応用問題なのですが、さっぱり解りません。すみません、よろしくお願い致します。

　この手の問題は、やったことがありません。

　とにかくやってみました。Ｋさまの書かれていることは、１９を求めることまでは理解できたのですが、それを２倍、３倍するのがよく理解できません。

　それで、自分なりに解いてみました。

６で割ると１余るのですから、その数は　６a＋１　と表すことができます。

　また、８で割ると３余るのですから、８ｂ＋３　と表せます。

　この２つは同じ数なので、イコールで結びます。

　８ｂ＋３＝６a＋１

　変形します。
　ｂ＝（３a-１）/４

　a,bとも正の整数です。それにあてはまるのをさがします。
a=1のときには、bは、・・・などと代入しました。

すると、　a=3 のとき, b=２　になります。

　６a＋１　にa=３を代入すると
　6*3+1=19

　８ｂ＋３ にb=2を代入すると
８*２＋３＝１９になります。
　もちろんですが同じ値です。

　１９÷６＝３あまり１
　１９÷８＝２あまり３で、問題の通り（６で割ると１余り８で割ると３余る）です。

また、
１９÷２４＝０あまり１９ですね。

　あとは、この１９に、６と８の最小公倍数２４を加えていったのは、
「６で割ると１余り８で割ると３余る正の整数」です。

　確かめてみます。

　１９＋２４＝４３
　４３÷６＝７あまり１、４３÷８＝５あまり３　ＯＫです。

　１９＋２４*２＝６７
　６７÷６＝１１あまり１、６７÷８＝８あまり３　ＯＫです。

　１９＋２４*３＝９１
　９１÷６＝１５あまり１、９１÷８＝１１あまり３　ＯＫです。

　つまり、１９＋２４*ｎ　になります。ｎは自然数です。

　この１９＋２４*ｎ　を２４でわると　商がｎであまりが１９ですね。

　確かめてみます。
　１９÷２４＝０あまり１９
　４３÷２４＝１あまり１９
　６７÷２４＝２あまり１９
　９１÷２４＝３あまり１９

　だから、求める２４のあまりは１９になります。

　これでいいと思いますが、どうでしょうか。

　もっとスマートな解き方を知っている方は教えてください。

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（2012、１月27日追加）

数学LOVEさんから、コメントをいただきました。

６で割ると１余る
→あと５あれば６で割り切れるよね～
８で割ると３余る
→あと５あれば８で割り切れるのにね～(o^-')b

これらが同時におこる数は…
そう！２４の倍数より５小さな数だね！！
例えば、１９とか、４３とかいろいろあるよね！！

はいさい！

　数学ＬＯＶＥさん、コメントありがとうございます。

　なるほど、このように考えるのですね。

　Ｋさんは、１９を求めたのは、いいのですが、その１９を２倍、３倍してしまったのですね。

　そうではなく、１９＋２４，１９＋２４×２，１９＋２４×３をしていかなければいけないのです。

　いずれにしろあまりは、１９です。

　Ｋさんもこれで理解できたのではないでしょうか。