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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

二次方程式の根の公式の導き方

 山本さんから、質問メールをいただきました。山本さん、ありがつございます。

二次方程式の根の公式の導き方をおしえてください。中間を省かない式です。親父がといてくれたことがありましたが.たしか大学ノ-ト二枚くらいだったとおもいます。私はいたって数学がふ得意ででしたので親父におまえがこの公式をみちびけるようになったら.数学の実力があるといっていいよ.といわれたことがあります。自分では解くことはできませんが.式の全体像だけでも知りたいです。


 質問メール、ありがとうございます。

 解の公式を導くのは、けっこうめんどうです。
 拙著「わかる解けるできる数学3年」では、導くために9ページを割いています。

 それを少し駆け足で説明してみます。追いつけないところがあったら、質問ください。

 中学1年の方程式はできるという段階から始めます。
 そして、平方根についても一応分かるものとして。

 最初に数字を用いた例で解き、その後で文字式でやります。

 x²=5 x=±√5 です。

 よって、
 x²=a x=±√a です。

次に
 (x+3)²=5
 x+3=±√5 
 x= ー3±√5 
です。

 文字で考えると
 (x+a)²=b
 x+a=±√b 
 x= ーa±√b 
です。
 
 x²+6x+9=5
左辺を因数分解すると
 (x+3)²=5
 x+3=±√5 
 x= ー3±√5 
です。

 x²+2ax+a²=b
 (x+a)²=b
 x+a=±√b 
 x= ーa±√b 
です。

さて、因数分解すると2乗(平方)の形になるのは例えば
 x²+6x+9 です。この式は因数分解すると x²+6x+9=(x+3)² になりますね。

 係数をみると、xの係数6の半分の2乗が定数項9になっています。

 だから、例えば、x²+8x+( ) が因数分解すると平方になるときは、( )に8の半分の2乗16が入ればいいですね。
 x²+8x+16=(x+4)² になります。

 ここが一番難しいとおもいます。大丈夫でしょうか。


 x²+6x=ー4 を解いてみます。
 左辺を平方の形に因数分解するために、両辺に6xの6の半分の2乗9を足します。
 x²+6x+9=ー4+9 
 すると x²+6x+9=5
左辺を因数分解すると
 (x+3)²=5
 x+3=±√5 
 x= ー3±√5 
です。

 x²+ax=b aの半分の2乗を両辺に足します。
 x²+ax+(a/2)²=b+(a/2)²
 {x+(a/2)}²=4b/4+a²/4
 x+(a/2)=±√(4b+a²)/2
 x={-a/±√(4b+a²)}/2
 になります。

 次は、
 x²+6x+4=0 を解いてみます。
左辺の+4を右辺に移項します。
 x²+6x=ー4 
 後は上と同じです。
 x²+6x+9=ー4+9 
 すると x²+6x+9=5
左辺を因数分解すると
 (x+3)²=5
 x+3=±√5 
 x= ー3±√5 
です。

 x²+ax+b=0 を解きます。
  +bを右辺に移項
 x²+ax=-b 
 x²+ax+(a/2)²=ーb+(a²/2)²
 {x+(a/2)}²=ー4b/4+a²/4
 x+(a/2)=±√(ー4b+a²)/2
 x={-a/±√(ー4b+a²)}/2
 になります。

 さて、やっと最後の段階です。

 2x²+9x+3=0
 両辺をx²の係数2でわります。
 x²+(9/2)x+3/2=0
 x²+(9/2)x=-3/2  3/2 を移項
 x²+(9/2)x+(9/4)²=-3/2+(9/4)²
 (x+9/4)²=-24/16+81/16  右辺は通分する
 (x+9/4)²=57/16
 x+9/4=±√57/4
 x={ー9±√57}/4

 文字式でやります。
 ax²+bx+c=0
 両辺をx²の係数aでわります。
 x²+(b/a)x+c/a=0
 x²+(b/a)x=-ーc/a
 x²+(b/a)x+(b/2a)² =-ーc/a + (b/2a)²
 (x+b/2a)² =-ー4ac/4a² + b²/4a²
 x+b/2a =±{√ー4ac + b²}/2a
 x=[-b±{√b²ー4ac }]/2a

  式に間違いがある可能性があります。気付いた人はご指摘ください。

 分かりにくいところもあると思います。ご遠慮なく質問してください。


 なお、前にこのブログ(解の公式の導き方)でも紹介しましたが、

二次方程式の解の公式の導き方のおもしろいのを次のページで発見しました。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/solution.htm
 参考にしてください。
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