平成25年度沖縄県立開邦高等学校一般入試問題付加問題数学[3](3)のと解説

　円Ｏの半径が１，円Ｏ’の半径が√2とする。
　図のように 、中心が点Ｏ”で 半径3の円周上を点Ｏが時計回りに、
中心が点Ｏ”で 半径4の円周上を点Ｏ’が反時計回りに動いている。
円Ｏ、円Ｏ”の2つの円が重なり、重なる部分の 面積が最も大きくなる時の面積を求めなさい。

　面積が重なる部分の面積がもっとも大きくなるのは、３つの中心点が一直線に並んだ時です。 次のような図になります。

　そして 重なった部分の面積を求めます。

　半径1と半径√2 なので、図は次のようになります。

　円Ｏの半径は１と半円Ｏ’の半径は√２です。
　この２つが重なる点をＡ，Ｂとすると、

　Ａ，Ｂ、円Ｏの中心は一直線に並び、円Ｏと円Ｏ’を結ぶ線と垂直に交わります。

　また、三角形ＡＯ’Ｂの辺の比は√２：√２：１＝１：１：√２なので、
∠ＡＯ’Ｂ＝９０°です。



　図の面積をＳ１，Ｓ２とすると、
　Ｓ１＝1×1×π×(1/2)=π/2
　Ｓ２＝√２×√２×π×(1/4)－√２×√２×(1/2 )＝(π/2) －１
　Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝(π/2) ＋(π/2) －１＝π －１




　答え π －１