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平成25年度沖縄県立開邦高等学校一般入試問題付加問題数学[3](3)のと解説
平成25年度沖縄県立開邦高等学校一般入試問題付加問題数学[3](3)のと解説


 円Oの半径が1,円O’の半径が√2とする。
 図のように 、中心が点O”で 半径3の円周上を点Oが時計回りに、
中心が点O”で 半径4の円周上を点O’が反時計回りに動いている。
円O、円O”の2つの円が重なり、重なる部分の 面積が最も大きくなる時の面積を求めなさい。
kaiho1.jpg





 面積が重なる部分の面積がもっとも大きくなるのは、3つの中心点が一直線に並んだ時です。 次のような図になります。

 そして 重なった部分の面積を求めます。

 半径1と半径√2 なので、図は次のようになります。

 円Oの半径は1と半円O’の半径は√2です。
 この2つが重なる点をA,Bとすると、

 A,B、円Oの中心は一直線に並び、円Oと円O’を結ぶ線と垂直に交わります。

 また、三角形AO’Bの辺の比は√2:√2:1=1:1:√2なので、
∠AO’B=90°です。
kaiho2.jpg


 図の面積をS1,S2とすると、
 S1=1×1×π×(1/2)=π/2
 S2=√2×√2×π×(1/4)-√2×√2×(1/2 )=(π/2) -1
 S=S1+S2=(π/2) +(π/2) -1=π -1

kaiho3.jpg


 答え π -1

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