FC2ブログ
セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

中学生でもわかる球の表面積の 公式の導き方
 以下は、間違えているようです。
 ぼくが考えた過程として残しておきますが、三角形の高さを2rとしていますが、そこが間違えているようです。


 次のページで、新たな試みをしました。そちらにどうぞ。
球の表面積、アルキメデスの方法(3の1)





学習指導要領、 教科書が変わって、球の表面積、 体積が復活しましたね。

球の表面積の公式は 4πr²  ですが、それの導き方が あまりスッキリしません。

ネット上を いろいろ探したのですが、 積分を使った方法がほとんどです。
これでは、中学生には理解できません。

  それで 僕なりに考えてみました。 ただ、いまいちちゃんとしないところがあります。

数学の詳しい方に ご指導いただければありがたいです。

球の半分、半球でやります。

それに図のように、テープを巻き付けます。赤いテープのところです。

kyuu1.jpg

すると隙間ができますね。 そこにドーナツ型の紙を張り付けます。 青い部分です。

このようにして球をテープで覆ってしまいます。

さて ドーナツの紙は 次のように切って、半分は逆さにして噛み合わせると長方形のようになっていきます。とても とてもこまかくすると長方形になります。 つまりテープになるのです。
kyuu2.jpg

そのテープを 次のように右端を揃えて、ならべてみます。

赤いテープの幅は一定です。 それに対して青いテープの幅は上にいくにしたがって、広くなります。

図を見ればわかりますね。

それを僕なりにできるだけ 正確に計算して ならべてみました。

kyu3.jpg

三角形のようになってくれればいいのですが、 思うように なりませんでした。

そこで、数学の得意な方に お尋ねします。

このテープをとても細かくすると、三角形ができるとしていいのでしょうか。

三角形になってくれれば 公式はきれいに導くことができます。

  三角形になるとして、話しを進めます。

赤いテープをとてもとても細くしていきます。
すると、直角三角形になります(とします)。

kyu4.jpg

この 直角三角形は底辺が 直径×円周率 つまり2πrになっています。

そして高さは 直径、2r になっています。赤いテープでr, 青いテープでr .

三角形の面積は、底辺×高さ× ½ なので
この三角形の面積= 2πr×2r× 1/2 = 2πr ²す。

  この2πr ²は 球の半分、 半球の表面積ですね。 だから、
それの2倍で 2πr ² ×2 =4πr ²  これで球の表面積の公式をみちびくことができました。

あの三角形の部分が引っかかりますが、
これなら中学生でも理解できると思いますが、どうでしょうか。


(2014年4月18日 追記)

 20等分した場合です。上の図より、三角形に近くなりました。

kyu5.jpg


関連記事
スポンサーサイト

Comment

 秘密にする

Re: タイトルなし
だいぶ以前のものだし、そもそも間違えた考え方なので、はっきりはしないのですが、
その細かく切ったテープはもともと球の表面にあるのですから、πrになるかと思います。
selfyojji | URL | 2019/04/21/Sun 18:05[EDIT]
三角形の高さを2rとしていますが、そこが間違えているようです。

とありますが、なぜ間違いですか?
| URL | 2019/04/21/Sun 06:36[EDIT]
Track Back
TB*URL

Copyright © セルフ塾のブログ. all rights reserved.