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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の表面積、アルキメデスの方法(4の1)
 ぼくの考えた球の表面積の公式の求め方は、根本的にまちがえていました。

それで、アルキメデスの方法を真似てみます。
次のページにある方法をぼくなりに追いかけてみます。
3回のつもりでしたが、4回に分けてやります。

球の表面積・体積数学Iへの移行に伴う新たな視点


そのままではないです。中学生が分かるように、文字式を用います。
 中学3年生の知識は必要です。教科書では1年に出てきますが、1年では無理なようです。

 この記事と次の記事は、前提となる命題についてです。

まず、
命題第 14
「任意の等脚円錐の底面を除いた表面は,その半径が,円錐の母線と,円錐の底面である円の半径との比例中項になるような円に等しい」

難しい文章ですね。

a:b=b:cのとき、bをaとcとの比例中項というそうです。

内項の積=外項の積 なので

 b²=ac b=√ac いいですね。

図を見ながら、説明を読んでください。
kyuarchi1.jpg

円すいがあります。その底面の半径をb, 母線をaとします。

その円すいの側面積をSとします。

その側面積Sと等しい円の半径をcとします。

その場合、a:c=c:b  c=√abになっている、というのが 命題第 14 です。


まず、イメージをもつために、具体的な値で、例を。

円すいの底面の半径を3, 母線を5とします。

kyuarchi2.jpg

扇形の面積は、母線×弧の長さ× ½ というのを覚えていますか。

忘れている人が多いと思いますが、これは1年のときに学んでいます。
忘れている人は復習してください。分かっているものとしてすすめます。

側面の弧の長さは、底面の円周と等しいので、
2×π×3 = 6π です。

だから円すいの側面積S= 5×6π× ½ =15π になります。

その側面積Sと等しい円の半径をcとします。

その場合、5:c=c:3 になっている、というのです。

内項の積=外項の積で

c²=5×3=15 c= √15

半径√15 の円の面積は 15π

確かに同じになりましたね。

次に
文字式で考えます。

円すいの底面の半径をb, 母線をaとします。
kyuarchi1.jpg

その円すいの側面積S=a×2πb×½ =πab

その側面積Sと等しい円の半径をcとします。

その場合、a:c=c:b
c²=ab
c=√ab

半径√ab の円の面積は、 πab

等しくなりました。

底面の半径をb, 母線をaとする円すいの側面積と
a:c=c:bとなる半径cの円の面積はどちらもπabで等しくなりました。

命題第 14
「任意の等脚円錐の底面を除いた表面は,その半径が,円錐の母線と,円錐の底面である円の半径との比例中項になるような円に等しい」

が証明されました。

側面積を求める簡単な方法は次に記しました。

円すい台の側面積の公式を導く

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