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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の表面積、アルキメデスの方法(4の2)

球の表面積・体積数学Iへの移行に伴う新たな視点
を追いかけています。

命題 16
「もし等脚円錐が底面に平行な平面によって切られると,二つの平行な平面の間
にある円錐の表面は,その半径が,平行な二平面の間の円錐の母線と,平行な二
平面内の円の半径の和に等しい線分との比例中項であるような円に等しい.」



難しい文です。

次の図を見ながら、説明を読んでください。

図のような円すいの上の部分が平行に切り取られた図形を円すい台といいます。

その円すい台の母線をa, 上底面の半径をb, 下底面の半径をcとします。
その円すい台の側面積と面積の等しい円の半径をmとします。
それは、 a:m=m:(b+c) の関係がある、ということを上の命題は

kyuarch5.jpg
言っています。

つまりm²=a(b+c) m=√a(b+c) です。

まず、数字を使って、準備体操です。

円すい台の母線を5, 上底面の半径を3, 下底面の半径を6とします。

この円すい台の側面積は、母線10、底面の半径が6の円すいの側面積から
母線5、底面の半径が3の円すいの側面積を引いた差に等しいことが分かりますか。

上底面の半径を3, 下底面の半径を6で、1:2 なので、
円すい台の母線と大きい円すい母線も1:2 だから、5:10 です。

だから、底面の半径が6の円すいの側面の弧の長さは、2×π×6 =12π
それで、側面積は、10×12π×1/2 =60π

底面の半径が3の円すいの側面の弧の長さは、2×π×3 =6π
それで、側面積は、5×6π×1/2 =15π

円すい台の側面積= 60π-15π=45π  

m²=a(b+c) m=√a(b+c) を求めます

a=5, b=3, c=6 です。

だから、m=√5(3+6)=√45

半径√45の円の面積=45π

母線5, 上底面の半径3, 下底面の半径6の円すい台の側面積も 40π
半径√5(3+6) の円の面積も 40π

等しくなりましたね。

では、文字式を用いて、証明してみます。

円すい台の母線をa, 上底面の半径をb, 下底面の半径をcとします。

円すい台の上を延長した円すいを考えます。切り取られる前の円すいです。

その母線をxとして、そのxをa,b,c を用いて表してみます。

kyuarch6.jpg

三角形と比の関係から
b:c=(x-a):x
c(x-a)=bx
cx-ac=bx
cx-bx=ac
x(c-b)=ac
x= ac/(c-b)

上の小さな円すいの母線を求めます。
x-a
=ac/(c-b) -a
=ac/(c-b) -(ac-ab)/(c-b)
=(ac-ac+ab)/(c-b)
=ab/(c-b)


大きな円すい、母線ac/(c-b)、 弧の長さ 2πc の側面積を求めます。
ac/(c-b) × 2πc × ½
=πac²/(c-b)


kyuarchi7.jpg


次に小さな円すい、母線ab/(c-b)、 弧の長さ 2πb の側面積を求めます。
ab/(c-b) × 2πb × ½
=πab²/(c-b)

大きな円すいの側面積から小さな円すいの側面積を引きます。
πac²/(c-b) - πab²/(c-b)
=(πac² - πab²) /(c-b)
=πa(c² - b²) /(c-b)
=πa(c+b)(c - b) /(c-b)
=πa(c+b)

半径をm=√a(b+c) の円の面積は
πa(c+b)

等しくなりました。

母線をa, 上底面の半径をb, 下底面の半径をcとする円すい台の側面積も
半径√a(b+c) の円の面積も πa(c+b) で等しくなりました。

命題 16
「もし等脚円錐が底面に平行な平面によって切られると,二つの平行な平面の間
にある円錐の表面は,その半径が,平行な二平面の間の円錐の母線と,平行な二
平面内の円の半径の和に等しい線分との比例中項であるような円に等しい.」

が証明されました。






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