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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の表面積、アルキメデス 4の3
正12角形をかきます。そして、次のように頂点に記号をつけます。
BとB',CとC'、DとD'、EとE',FとF'を結んだ線は平行になっていますね。

kyuarch8.jpg

次に、B'とC,C'とD,D'とE,E'とFを直線で結びます。
青い色の線です。
kyuarch9.jpg


これらの直線は、AB、FA’に平行になっています。
正多角形なので、辺がすべて等しいからです。

さて、△AA'B(赤い辺)と△ABG(緑色のぬりつぶし)は相似になっています。

∠ABA'は、直径に対する円周角なので直角。
∠AGBも直角です。
∠BAG=∠A’AB (共通)
2組の角がそれぞれ等しいので
△AA'B∽△ABG
kyuarch10.jpg

次の図の緑色で塗りつぶした三角形はすべて相似です。
合同もありますが、合同も相似の一種ですね。

kyuarch11.jpg

さて、相似の三角形の対応する辺の比はすべて等しいです。

だから、
A’B:BA=BG:GA
    =B’G:GL
    =CH:HL
    =C’H:HM
    =DI:IM
    =D'I:IN
    =EJ:JN
    =E'J:JO
    =FK:KO
    =F'K:KA’


 2番目の比BG:GAから後の比の前項と後項を加えます。

前項は、BG+B’G+CH+C’H+DI+D'I+EJ+E'J+FK+F'K
:後項は、GA+GL+HL+HM+IM+:IN+JN+JO+KO+KA’になります。

前項の
BG+B’G=BB'
CH+C’H=CC'
DI+D'I=DD'
EJ+E'J=EE'
FK+F'K=FF'
です。

後項の GA+GL+HL+HM+IM+:IN+JN+JO+KO+KA は
AA'に等しくなっています。図を見て、追ってみてください。

だから、
A’B:BA=(BB'+CC'+DD+EE'+FF'):AA'
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