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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の表面積 アルキメデス(4の4)  
 正12角形をAA’を軸に回転させると、次のように、かなり球に近い図形になりますね。

kyuarch13.jpg

kyuarch14.jpg

 そして、その展開図は次のようになります。

kyuarch15.jpg

1つ1つの図形の面積を求めてみます。

まず、1番上の円すい。



球の表面積、アルキメデスの方法(4の1)

「任意の等脚円錐の底面を除いた表面は,その半径が,円錐の母線と,円錐の底面である円の半径との比例中項になるような円に等しい」


という命題14を学びました。それを使えば

1番上の円すいの表面積は、 AB×BG×Π

2番目の円すい台の表面積は、
球の表面積、アルキメデスの方法(4の2)

で学んだ

命題 16
「もし等脚円錐が底面に平行な平面によって切られると,二つの平行な平面の間
にある円錐の表面は,その半径が,平行な二平面の間の円錐の母線と,平行な二
平面内の円の半径の和に等しい線分との比例中項であるような円に等しい.」


を使います。

すると、2番目の円すい台の側面積は、BC×(BG+CH)×Π

3番目の円すい台の側面積は、CD×(CH+DI)×Π

4番目の円すい台の側面積は、DE×(DI+EJ)×Π

5番目の円すい台の側面積は、EF×(EJ+FK)×Π

1番下の円すいの側面積は、A’F×FK×Π

すべて加えたのが回転体の表面積ですね。
次のようになります。

AB×BG×Π+BC×(BG+CH)×Π+CD×(CH+DI)×Π+DE×(DI+EJ)×Π+EF×(EJ+FK)×Π+A’F×FK×Π

正12角形なので、辺の長さはすべて等しいです。

つまり、AB=BC=CD=DE=EF=A’F

それで、すべてABに統一します。すると、それぞれの面積は

AB×BG×Π+AB×(BG+CH)×Π+AB×(CH+DI)×Π+AB×(DI+EJ)×Π+AB×(EJ+FK)×Π+AB×FK×Π

共通因数のΠAB でくくります。
ΠAB(BG+(BG+CH)+(CH+DI)+(DI+EJ)+(EJ+FK)+FK)

BG=1/2BB’
CH=1/2CC’
DI=1/2DD’
EJ=1/2EE’
FK=1/2FF’ ですね。
置き換えます。

ΠAB(1/2BB’+1/2BB’+1/2CC’+1/2CC’+1/2DD’+1/2DD’+1/2EE’+1/2EE’+1/2FF’+1/2FF’)

1/2+1/2=1 なので、

ΠAB(BB’+CC’+DD’+EE’+FF’)

さて、前回の
球の表面積、アルキメデス 4の3

では、
A’B:BA=(BB'+CC'+DD+EE'+FF'):AA'

を導きましたね。これの内項の積=外項の積 で

BA(BB'+CC'+DD+EE'+FF')=A’B×AA'

だから
ΠAB(BB’+CC’+DD’+EE’+FF’)=ΠA’B×AA'

いまは、正12角形でやりましたが、それをとても大きな数の正多角形にする、
つまりとてもこまかくすると、A’Bは、直径AA’とほぼ近くなりますね。
kyuarch16.jpg


つまり、その表面積はΠAA'×AA'
今は内接多角形についてやりましたが、外節多角形でも同じようになります。

だから、球の表面積は ΠAA'×AA'
AA’ は直径です。半径をrとすると、AA’=2r

それで、球の表面積は 
ΠAA'×AA'= Π×2r×2r = 4Πr² 

これで、球の表面積を導くことができました。

アルキメデスはすごいですね。追いかけるだけでやっとです。
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