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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

中学1年生でもわかる、球の表面積の公式の導き方
前にアルキメデスがやった方法を追いながら、球の表面期の公式を導いてみました。
難しかったですね。

今回は、それをかみ砕いて、中学1年生にも分かるように説明してみます。
でも、まだなかなか難しいと思います。がんばってください。
途中までは前の説明とだぶります。

正12角形をAA’を軸に回転させると、次のように、かなり球に近い図形になりますね。

kyuarch13.jpg

kyuarch14.jpg

そして、その展開図は次のようになります。

kyuarch15.jpg

1つ1つの図形(円すい、円すい台の側面積)の面積を求めてみます。
前の節で、円すい台側面積の公式を導きました。

円すい台側面積の公式を導く

母線m, 上底面の半径a, 下底面の半径bの
円すい台の側面積=πm(a+b)
です。

kyumenseki.jpg

1番上の円すいは、上底面の半径が0と考えて
πm(0+a) = πma

2番目の円すい台の側面積=πm(a+b)  

3番目の円すい台の側面積=πm(b+c)  
4番目の円すい台の側面積=πm(b+c)
5番目の円すい台の側面積=πm(a+b)  
1番下の円すいの側面積= πma

すべて加えたのが、12角形を回転させた図形の表面積です。

πma+m(a+b) +πm(b+c)+πm(b+c) +πm(a+b) +πma
= πm{a+(a+b) +(b+c)+(b+c) +(a+b) +a}
= πm{a+a+b+b+c+c+b+b+a+a}
= πm{4a+4b+2c}

12角形の回転体の表面積= πm{4a+4b+2c}

これはおいておきます。

正12角形の頂点
BとB',CとC'、DとD'、EとE',FとF'を結んだ線は平行になっていますね。

kyuarch13.jpg


次に、B'とC,C'とD,D'とE,E'とFを直線で結びます。
青い色の線です。

kyuarch9.jpg


これらの直線は、AB、FA’に平行になっています。
正多角形なので、辺がすべて等しいからです。

次の図の緑色で塗りつぶした三角形はすべて相似です。
kyuarch11.jpg


相似というのは、拡大、縮小の関係にある図形です。
形が同じ図形です。相似については中学3年で学びます。
辺の長さも等しい合同もありますが、合同も相似の一種ですね。

この10個の三角形の高さを加えた長さを高さに
底辺をすべて加えた長さを底辺にした三角形を描きます。

kyumenseki2.jpg

青の辺で描かれた三角形AA’Pです。

高さ(AA')は、回転体の直径になっています。
半径をrとするとAA'=2r

横の長さ
A’P=a+a+b+b+c+b+c+a+b+a
=4a+4b+2c

この三角形AA’Pと三角形ABA' も相似(拡大、縮小の関係)になっています。

だから辺の比は等しいです。
AA':A'P=AB:BA'

田の字表にすると
ABBA'
AA'A'P

AA'=2r,  A’P=4a+4b+2c , AB=m
だから、
2r:4a+4b+2c=m:BA'

田の字表にすると

mBA'
2r4a+4b+2c

比だと内項の積=外項の積
田の字表はななめにかけて
m(4a+4b+2c)=2r×BA'

両辺にπをかけます。
πm(4a+4b+2c)=2πr×BA'

πm(4a+4b+2c)は、
上でやった、正12角形の回転体の表面積ですね。
次のように書き換えることができます。

正12角形の回転体の表面積=2πr×BA'

ここでは、正12角形でやりましたが、それをとても大きな数の正多角形にします。
つまりとてもこまかくすると、点BはAに近づき、
BA’は、直径AA’とほぼ近くなりますね。

だから、BA'=2r になります。

すると、回転体の表面積=2πr×2r = 4πr ² 

今は内接多角形についてやりましたが、外節多角形でも同じようになります。

だから、
球の表面積 = 4πr ² 
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