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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

球の体積を求める公式を導く
前の記事では、「球の表面積」を求める公式を導きました。

次は 球の体積を求める公式です。

球の表面積をみちびいたので、こちらは比較的簡単です。

その前に確認しておきます。
球の表面積=4πr²
これからすい体の体積=底面積 × 高さ×1/3ですね。

  そして 錐体や柱体の高さは、底面に対して垂直だということです。それは斜めになった場合でも そうです。
次の錐体Aと 錐体Bは 高さは等しいです。だから体積は等しくなります。

kyutaiseki0.jpg


以上の 確認、大丈夫ですね。

さて 球の体積を求めてみます。

まず スイカを切るように、 球を2つにきります。スイカとしたので 中身は赤くしました。
kyutaiseki1.jpg

また2つに切ります。 4つになりました。

そしてさらに それぞれを2つ切ります。 必ず、球の中心を通るようにして切ります。

 8つになり、 さらに切ると16になり、 さらに切ると32。 いいですね。

このすると 次のようにすい体がたくさんできます。

kyutaiseki2.jpg

さて、このすい体の底面は、実際には曲面になっています。

でも、こまかくこまかく切ると 平面に近くなりますね。

そしてそれをならべてます。

すると、たて、たて2r, 横2πrの長方形いっぱいに並びます。
その長方形の面積は4πr² です。 球の表面積と同じです。

頂点を斜めに 平行にずらしても体積は変わりません。

1点に集中するように、それぞれの頂点をずらしていきます。

すると次のようになります。

kyutaiseki3.jpg

1つの大きな四角すい体ができました。

このすい体の底面積は 4πr²、 そして高さはrです。

だからこのすい体の体積は 4πr²×r×1/3です。

4/3 πr³になります。

このすい体の体積は球の体積と同じですね。

だから球の体積を求める公式は 4/3 πr³  になります
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