セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している
 kankyoさんから、次の記事にコメントをいただきました。ありがとうございます。
割り算の意味は、分けること、割ることとは限らない。

タイトル:割算は1当たりの量を求めることについて
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数年前から割算がすっきりと理解できず、苦しんでいる47歳男性です。
検索してここにたどり着きました。

興味深く読ませて頂いたのですが、次のところで止まってしまいました。

【記事引用】

「分ける」というのではなく、、全体量÷いくつ分 をして、1当たり量を出す操作のことを割り算という、と考えましょう。

4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。

【記事引用終わり】

上の4行目の理由が3行目になる、つまり3行目が成立するから4行目も成立する、
と言われていると思うのですが、私にはなぜそう言えるのかが分かりませんでした。

3行目と4行目はそれぞれ独立した事象であって、
3行目が成立が4行目の成立を自動的に導いていないように思えます。
それを導くには、3行目と4行目の間をつなぐなにかが必要ではないでしょうか。

私なりに考えたのですが、

200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

では、1個の場合は何円になるか。

答え方としては、

(円)が(個)の800倍になるということが常に成立すると仮定すれば、
つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある仮定すれば、
1個の値段は、1×800=800円になる。

ということになるのではなでしょうか。

つまり、(円)と(個)が常に正比例の関係にある、
という条件を言わなければならないと思うのです。

こういうことから、私は、
無条件に、割算は1当たり量を求めること、とは言えないような気がするのです。
割算とは単に、与えられた量どうしの倍率関係を求めること、なのではないかと思います。

そして、与えられた量どうしが正比例の関係にあると条件づけるならば、
そこではじめて、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのだと思います。
********************




 4個で200円なら、200円÷4個で、1個の値段が出るのだから、
1/4個で200円なら、200円÷1/4個で、1個の値段が出るのです。


 という部分に、論理的な飛躍があるとのことですね。
 それについて、改めて考えてみました。その機会を作ってくださったことに感謝いたします。

 その飛躍を埋めることは次回に書きます。
 ここで、コメントの中の件で2点述べます。

 200円÷1/4個、というのは、200(円)は1/4(個)の何倍であるか、
を示す式で、それは800倍である。

 という点。

 ふつう、「何倍か」というときには、同じ単位になります。
 200円は40円の何倍か。
 200個は1/4個の何倍か。
 これはいいです。

 単位をつけずに 200は1/4の何倍か、もいいです。

 でも、200円は1/4個の何倍か、は考えられません。

 1/4個の800倍は、200個です 200円にはなりません。

 1/4個を何倍しても200円にはならないのです。


 次に、かけ算、割り算は、常に正比例を仮定しています。

 正比例というのは、x=0のときy=0
 そして、均一に変化することです。

 1匹に6本の足がある虫、5匹では足は何本になるか。
 その場合、すべての虫はそれぞれ6本の足がついているのです。
 1匹は事故で足を失い5本しかない、または突然変異で7本の足のある虫、などを入れては掛け算は成り立ちません。
 また、0匹では0本の足ですね。

 12dLのジュースを3人に分ける。1人いくらか。
 その場合、12÷3 にするには、均一に分けるというのが条件です。

 1人は2dL,別は4dL、などとしてはいけないのです。

 ジュース全体をy、子供の人数をxとすると、y=4x という正比例の関係でなければいけないのです。

 1/4個で200円のケーキ。別の1/4個も200円、さらに別の1/4個も200円。
 だから、1個では800円になるのです。

 すべて均一でなければいけないのです。

  このようにかけ算、割り算では、与えられた量どうしが正比例の関係にあるといえます。
 だから、割算は1当たり量を求めること、とも言えるのです。



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Re: 割算とは 1 当たりの量を求める操作である、ということについて
 コメント、ありがとうございます。ブログで回答いたしました。
selfyojji | URL | 2016/05/28/Sat 10:14[EDIT]
割算とは 1 当たりの量を求める操作である、ということについて
この記事でコメントを取り上げていただいた kankyo です。
どうもありがとうございます。

selfyojji 様の記事を読み、私の理解を改めて整理してみました。

◆事柄A 4 個で 200 円なら、200 円÷4 個で、1 個の値段が出る。
◆事柄B 1/4 個で200 円なら、200 円÷1/4 個で、1 個の値段が出る。

まず、事柄Aについて。
事柄Aとは次のようなことであると考えます。

4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷4 を行います。
すると 50 という数字がでてきます。
これは、200 が 4 の 50 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 50 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1 の場合、円につく数字は 1 × 50 (50 倍) で 50 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 50 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

(事柄Aについては以上。)

つぎに、事柄Bについて。
事柄Bとは次のようなことであると考えます。(くどくなります。すいません。)

1/4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷1/4 を行います。
すると 800 という数字がでてきます。
これは、200 が 1/4 の 800 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
1/4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 800 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1 の場合、円につく数字は 1 × 800 (800 倍) で 800 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 800 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

(事柄Bについては以上。)

これらのことから、繰り返しになって恐縮ですが、

割算とは単に与えられた量どうしの倍率だす操作であり、
与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
1 あたりの量を求める操作であるとも言える、

と理解しました。

今までいろいろと本やネットの記事を読んできて、
割り算とは 1 あたりの量をだす操作である、ということはよく目にしました。

しかし、与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
という条件については目にすることがありませんでした。

この条件は、専門家の目でみるとどうなのか分かりませんが、
素人の私にとってはとても大きな発見です。

最初のコメントで、割算の意味が分からなくて数年悩んでいると書きましたが、
実は 15 年くらい悩んでいたのです。

生きているうちに、この悩みから解放されてとても満足しています。
selfyojji 様、このたびは本当にありがとうございました。
kankyo | URL | 2016/05/28/Sat 00:01[EDIT]
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