きのう書いた記事
かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している
　に kankyoさんから、コメントがありました。ありがとうございます。

割算とは １ 当たりの量を求める操作である、ということについて
この記事でコメントを取り上げていただいた kankyo です。
どうもありがとうございます。

selfyojji 様の記事を読み、私の理解を改めて整理してみました。

◆事柄Ａ　4 個で 200 円なら、200 円÷4 個で、1 個の値段が出る。
◆事柄Ｂ　1/4 個で200 円なら、200 円÷1/4 個で、1 個の値段が出る。

まず、事柄Ａについて。
事柄Ａとは次のようなことであると考えます。

4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷4 を行います。
すると 50 という数字がでてきます。
これは、200 が 4 の 50 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 50 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1　の場合、円につく数字は 1 × 50 （50 倍） で 50 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 50 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

（事柄Ａについては以上。）

つぎに、事柄Ｂについて。
事柄Ｂとは次のようなことであると考えます。（くどくなります。すいません。）

1/4 個と200 円の、数字の部分だけに着目して、200÷1/4 を行います。
すると 800 という数字がでてきます。
これは、200 が 1/4 の 800 倍であることを示しています。

ところで、200 は円という単位に、
1/4 は個という単位にそれぞれくっついている数字なので、
円につく数字が個につく数字の 800 倍になっているとも言えます。

そして、円につく数字と個につく数字が正比例していると仮定するならば、
個につく数字が 1　の場合、円につく数字は 1 × 800 （800 倍） で 800 になる。
つまり、1 個あたりの値段は 800 円となる。

こうして、与えられた量どうしが正比例していると仮定する限りにおいて、
割算とは 1 あたりの量を求める操作であると言える。

（事柄Ｂについては以上。）

これらのことから、繰り返しになって恐縮ですが、

割算とは単に与えられた量どうしの倍率だす操作であり、
与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
1 あたりの量を求める操作であるとも言える、

と理解しました。

今までいろいろと本やネットの記事を読んできて、
割り算とは 1 あたりの量をだす操作である、ということはよく目にしました。

しかし、与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
という条件については目にすることがありませんでした。

この条件は、専門家の目でみるとどうなのか分かりませんが、
素人の私にとってはとても大きな発見です。

最初のコメントで、割算の意味が分からなくて数年悩んでいると書きましたが、
実は 15 年くらい悩んでいたのです。

生きているうちに、この悩みから解放されてとても満足しています。
selfyojji 様、このたびは本当にありがとうございました、

（以下はYojiの文）
　コメント、ありがとうございます。Kankyoさんの考えておられることが分かった気がします。

 

x（個）	1（個）	2（個）	3（個）	４（個）	５（個）	・・・
ｙ（円）	50(円)	100(円)	150(円)	200(円)	250(円)	・・・・

 

５０円＝１個×５０
１００円＝２個×５０
１５０円＝３個×５０
２００円＝４個×５０
２５０円＝５個×５０
・・・・・
　y＝50×ｘ
　
　だから、値段と個数は正比例している。

 

x（個）	1/4（個）	2/4（個）	3/4（個）	1（個）	2（個）	・・・
ｙ（円）	200(円)	400(円)	600(円)	800(円)	1600(円)	・・・・

 
２００円＝１/4個×８００
４００円＝2/4個×８００
６００円＝3/4個×８００
８００円＝１個×８００
１６００円＝２個×８００

・・・・・
　y＝800×ｘ

　だから、値段と個数は正比例している。

　　このようにkankyoさんが考えている、と思っていいでしょうか。
　　基本的には、正しいと思います。おもしろいところに着眼したものだと思います。

　ただ、ぼくが違和感を持つのは、「４個の５０倍が２００円になる」「２個の８００倍が１６００円」になる、というように（個）のｎ倍が（円）になるというようなところです。

　次のように考えてはどうでしょうか。
　「１個５０円、４個では２００円になる」「１個８００円、２個では１６００円」になる。

　　「１個５０円、４個では２００円になる」の場合、
５０（円/個）×４（個）＝２００円
　になって、単位も正しくなります。ふつうはそう教えています。

　　次は、

割り算とは 1 あたりの量をだす操作である、ということはよく目にしました。
しかし、与えられた量どうしが正比例していると仮定するならば、
という条件については目にすることがありませんでした。
　
　について。

　「正比例」は、小６で学びます。
　一方、かけ算、割り算は低学年のときに学びます。

　だから、かけ算、割り算を学ぶときに「正比例」という言葉をつかうことはできません。

　しかし、かけ算、割り算では、均一だということはしっかり教えます。

　１人３個のビー玉をもった４人の子供。という場合、
　Aくんも３個、Bくんも３個、Cくんも３個、Dくんも３個のビー玉を持っているのです。１あたり量がすべて同じです。

　そういうときにしか、３×４　というかけ算はできません。

　Aくんは３個、Bくんは２個、Cくんは５個、Dくんは１個のビー玉を持っている」というようなときは、「平均」の問題になりますね。

　割り算もそうです。
　１２個のビー玉を４人に分ける」
　というときには、均一に分けることが条件です。

　それは、割り算の導入のときに、ぼくは教えます。

　　Aくんにも３個、Bくんにも３個、Cくんにも３個、Dくんもに３個のビー玉を分けるのです。
　そのときにだけ、１２÷４　という割り算の式ができるのです。
　１あたりの量が等しいのです。

　見方を変えれば、そういうとき、子供の数とビー玉全部の数は正比例しているといえます。

　kankyoさんが、「正比例」の関係を独自に見出したのはご立派だと思います。
　その通りです。

　かけ算、割り算の導入のときには、「正比例」という用語を使うわけにいかない（まだ習っていないから）ので、「１あたりが等しいとき」ということを教えている、と考えてもいいと思います。