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単位には、意味がある。わり算は1あたり量を求めること
かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している(2)

 にkankyoさまから、メールをいただきました。ありがとうございます。
 納得がいかなければ、何度でもご意見を述べるのはいいことだと思います。

 コメントは次の通りです。

タイトル:割り算は、常に正比例を仮定している、について
********************
selfyojji 様

コメントを記事でとり上げて頂いた kankyo です。ありがとうございます。

まず、記事で指摘を受けた単位の件について。

個を何倍しても個であり円にはならない。
それはおっしゃるとおりだと思います。

私は、あくまで単位にくっついている数字の関係だけを念頭においており、
個を○倍すると円になる、というような考えは持っておりません。

最初の記事で指摘された(されたは尊敬語です。)際は、
それに触れるのは余計なことと考えましたが、
次の記事でも同様の指摘をされたため・・

さて、記事後段の次の部分についてです。

(記事引用)

Aくんにも3個、Bくんにも3個、Cくんにも3個、Dくんもに3個のビー玉を分けるのです。
そのときにだけ、12÷4 という割り算の式ができるのです。
1あたりの量が等しいのです。

(記事引用終わり)

上記の場合は分ける場面が分かりやすいです。(12÷4=3)
割り算とは1当たりの量をだす操作ということが、イメージを伴って納得できます。

では今度、にわかには具体的な例が思い浮かびませんが、
12÷2.4=5 という割り算について。

これは 2.4 等分にする、あるいは 2.4 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。

さらにつぎ。これも今は具体的な例が浮かびませんが、
12 ÷ 0.5 = 24 という式。

これも、 0.5 等分にする、あるいは 0.5 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。

(文意と関係ありませんが、等分除としてもイメージできないです。)

そこで、私は次のように理解しています。

A÷Bという割り算はAとBの倍率をだす操作に過ぎない。

そして、AとBが正比例の関係にあると仮定した場合は、
A÷Bという割り算は1当たりの量をだす操作であるともいえる。

AとBは正比例の関係を保ちながら動くものであり、
Bが1のときのA÷Bの答、つまり倍率=1当たりの量となる。

(小6で習う正比例という言葉をだしましたが、大人同士ということで使わせてください。)

私の理解は以上です。

こう考えると私としては、12 ÷ 2.4 も 12 ÷ 0.5 も、その他なんでも、
割り算とは1当たりの量を求める操作である、
ということに納得がいきます。

さて、引き続き 長きにわたった割り算の謎から解放された気分を味わっています。
・・もしかして浅はかでしょうか。
********************



 では、回答いたします。

では今度、にわかには具体的な例が思い浮かびませんが、
12÷2.4=5 という割り算について。
これは 2.4 等分にする、あるいは 2.4 に分けるということが想像できず、
この式が 1 当たりのの量を求めているのだということが理解できません。


 について、
 「等分する」「分ける」と考えるから想像できないのです。
 ぼくは考えることができます。

 2.4gで12円の食塩、1gでは何円か。 1gでは5円。5円/g
 これを単価といいます。1単位あたりの値段です。ここでは1gあたりの値段。

 次
 2.4時間で12km進む物体。1時間では何km進むか。 1時間に5km
 これは時速ですね。1時間あたりに移動する距離です。5km/時

 2.4cm³で質量12gの物質。1cm³の質量はいくらか。 5g/cm³
 これは密度です。1cm³あたりの質量です。

  2.4km²に12人の人が住んでいる地域。1km²あたりの人口はいくらか。
 1km²に5人。5人/km²
これを人口密度といいますね。単位面積1k㎡当たりに居住する人の数です。

  2.4m²に12Nの力がかかっている。1m²あたりの何Nらか。
 5N/m²=5Pa(パスカル)
  これは圧力です。1平方メートル (m²) の面積につき何ニュートン (N) の力が作用しているか、です。

 2.4Lのガソリンで12km進む車。1Lでは何km進むか。1Lで5km。
 これを燃費(ねんぴ)と言いますね。
 燃料(ガソリン、軽油など)の単位容量あたりの走行距離、もしくは一定の距離をどれだけの燃料で走れるかを示す指標す。

 まだ、例をあげることができますが、もう十分だと思います。


 わり算は、このように1(単位)あたりの量を求める計算です。
  「等分する」「分ける」と考えると理解できなくなります。

12 ÷ 0.5 = 24 という式。
これも、 0.5 等分にする、あるいは 0.5 に分けるということが想像できず、



 これも、単位あたりで考えれば、理解できます。上の例に12と0.5を代入すればいいですね。

 1つだけ例をあげれば、
 0.5時間で12km進む物体。1時間では何km進むか。 1時間に24km

 十分に理解できます。

 小学低学年では、わり算は、「等分する」「分ける」と考えて理解できるでしょうが、小数や分数のわり算を学ぶときには、それだけでは理解できなくなるのです。

 それで、わり算とは「1あたり量」を求める計算だ、という理解が必要になるのです。また、「いくつ分」を求めることもあります。

 なお、単位には意味があります。それを取り除いて考えることは、まったく意味がないとはいいませんが、それに近いです。

 単位を取り除いて、計算的には正しくても
 (個)を何倍しても(円)になりません。

 単位をもっと大切に扱ってもらいたいです。

 それで、
 倍率=1当たりの量 というのは間違いだと思います。

 なお、整数のわり算は「わける」「等分する」と考えて理解できますが、小数、分数は理解できないことがあります。
 分離数は基本的に整数です。ただ、連続数では、小数、分数が出てきます。
 
 分離数、連続数については、次の記事を。

分離量は「ビー玉型の量」、連続量は、「テープ型の量」


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Comment

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かけ算、割り算は、常に正比例を仮定している、について
selfyojji 様

再びとりあげて頂き恐縮です。さっそく内容について。

記事を引用いたします。

(記事引用)

2.4gで12円の食塩、1gでは何円か。1gでは5円。5円/g

(記事引用終わり)

上では 1 あたりの量だすために 12 ÷ 2.4 の割り算を行い 5 をだしています。

しかし、この割り算はやはり、12 と 2.4 の倍率をだしているに過ぎません。

この割り算が 1 あたりの量をだしていると言うためには、その前段として、12と 2.4 は同じ倍率を保ちながら動きうる関係にあると仮定する、と言っておく必要があります。

言いかえます。

この割り算が 1 あたりの量をだしていると言うためには、その前段として、数字で表現された円の量と数字で表現された g の量は同じ倍率を保ちながら動きうる関係にあると仮定する、と言っておく必要があります。

これでやっと、わり算は1(単位)あたりの量を求める計算である、ということが言えます。

この考えですと、例えば 12 ÷ 4 = 3 だけではなく、12 ÷ 2.4 = 5 も、12 ÷ 0.5 = 24 も、すべては(結果的に) 1 (単位)あたりの量を(も)だしている、と理解することができます。

それでも根源的には、割り算そのものは単に与えられた数同士の倍率をだしているに過ぎません。

私はいまやそのように考えており、長年いだいていた割り算についての不思議さがすべて消えてしまいました。(霧が晴れたようでホッとしています。)

selfyojji 様は私の理解に同意しかねていると思っておりますが、質疑をとおし、私は逆に自分の理解に確信を深めてしまいました。

あまりひっぱるとしつこくて嫌な感じになりますので、この辺を引き際にするのがよいかなと考えています。(私としては解決したような気がしますので。)

なお、単位をもっと大切にというご指摘は、そのように感じさせてしまう文章を書いてしまった私がいけないのだろうということで、残念ですがいたしかないと考えています。

それでは心から、このたびはまことにありがとうございました。
kankyo | URL | 2016/06/01/Wed 01:51[EDIT]
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