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直積表で平方完成(x²の係数が平方数でない)
 前の節では、直積表を使って平方完成をして、二次方程式を解きました。
 そこでは、 x²項の係数が平方数、x項の係数が偶数の場合でした。

 この節では、x²項の係数が平方数でなく、x項の係数が偶数の場合です。

(例) 二次方程式 3x²+2x-3=0 を解きなさい。

教科書では、全体を3でわりますね。でもここでは、逆に3をかけます。
  そうすることで、x²の係数が平方数になるのです。3でわると分数がでるので、計算がめんどうになります。かけたほうが整数のままで方程式を解くことができ、楽です。

  3x²+2x-3=0  
  9x²+6x-9=0  (両辺に3をかけます)
  9x²+6x=9   ( -9 を移項します)

  9x²+6x を平方完成します。直積表でやります。
  前の節でやったので分かりますね。


3x

1

3x

9x²

3x

1

3x

1


上の直積表から、
 9x²+6x=9
 9x²+6x+1 =9+1 (両辺に1を加える。上の表から)
(3x+1)²=10   (左辺を因数分解し、平方の形に)
3x+1=±√10  (平方根に)
3x= -1±√7  (1を移項)
x= (-1±√10)/3   (両辺を3でわる。終わり)

わって分数にするより、こちらの方が楽ですね。

  文字式でやってみます。

  ax²+2b’x+c=0 
  ax+2ab’x+ac=0 (両辺にaをかける) 
  a²x²+2ab’x = -ac (ac を移項)



ax

b’

ax

a²x²

ab’x

b’

ab’x

b’²



  a²x²+2ab’x +b’²=b’²-ac ( b’² を両辺に加える)
  (ax+b’)² =  b’²-ac
  ax+b’ =  ±√(b’²-ac)
  ax =  -b’±√(b’²-ac)
  x =  { -b’±√(b’²-ac) }/a

x²項の係数を両辺にかけ、直積表を使えば、平方完成がとても楽にできますね。

  これを公式として覚えたら、x項の係数が偶数の二次方程式を楽に解けます。
 、x項の係数が偶数の場合、一般的な公式でも解けますが、必ず、ルートの外に2が出て、2で約分するという操作が出てくるからです。

x²項の係数を両辺にかけることは、次の本を参考にしました。




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