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x²+ax+b=0 の解の一つが2-√2 中学生に
きのうは、Yさんの質問メールに答えて
 x²+ax+b=0 の解の一つが2-√2であるとき、整数aとbを求めよ。
 の解き方を書きました。

x²+ax+b=0 の解の一つが2-√2


 それに対して、返信をいただきました。

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早速のご回答ありがとうございます。よくわかりました。
ところが、この問題は高校ではなく、中学3年生の二学期中間テストに出題されたものなのです。中学生の数学で解く方法はないのでしょうか?
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 ということで、中学生にも理解できる方法ですね。

 中学生には、かなり難しい問題ですね。

 ぼくが、中学生に教えるなら、次のようにするでしょう。

 解の公式は、 x={-a±√(b2-4ac)}/2a だね。
 つまり、x={-a+√(b2-4ac)}/2a、 x={-a-√(b2-4ac)}/2a

 2つの解は、ルートの前の+と-だけが違うんだね。

 だからx²+ax+b=0 の解の一つが2-√2であるなら、
 もう一つの解は 2+√2 だね。

 (中学生でも理解してもらえるはずです。)

 それで、この2つの解をxに代入して、連立方程式を作って、a,bを求めることもできるね。でも、その計算はとてもめんどうだ。めんどうだと間違いも多くなる。

 別の解き方を教えるよ。
 x=2、 x=3 なら、
 そのもとの方程式を因数分解したら、
(x-2)(x-3)=0
になるはずだよね。いいかな。

 (これも、中学生にとっても分かるはずです。この説明をしたことがありますが、理解してくれました。)

 それなら、この問題では、
 x=2-√2、 x=2+√2 だから、

  そのもとの方程式を因数分解したら、
(x-2-√2)(x-2+√2)=0
になるはずだよね。

 では、この式を展開してみます。
 x²-4x+2=0
 
問題の式は、x²+ax+b=0 だね。
 x²+ax+b=0 と
 x²-4x+2=0  は同じになるには、
 a= -4, b=2 になるね。

 これが答えです。
 これで、中学生でも理解してもらえると思いますが、どうでしょうか。



Yさまから返信をいただきました。

ご教授ありがとうございました。
今日生徒に説明したところ、わかってくれまいた。
おいそがしいところ、2度にもわたりご丁寧に
メールをいただき、本当に心より感謝申し上げます。



 お役に立ててうれしいです。

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Google検索から通りがかったものですが
x=2-√2を代入して6-4√2-a√2+(2a+b)=0
a,bは整数だから4√2を消すにはa√2=-4√2、としなきゃいけない
a=-4,b=-6 という説明、及び論証もありなのではないかと思いました。
へんしんふよう | URL | 2017/01/08/Sun 00:47[EDIT]
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