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セルフ塾は閉めましたが、そのままの名前でブログを続けます。独学,独習。教わるより,学ぶを重視。 セルフラーニングの方法,英語,数学などの情報を発信するつもりです。

かけ算は後回し
 (21×36)/28 をほとんどの生徒は,21×36の積756 を求めて,それから756÷28 をして,答え27を求めます。

 ぼくは「かけ算はできるだけ後回しにしなさい」と言います。
 「大きな数の計算と小さな数の計算,どちらが好きだ?」と問うと,すべての生徒が「小さな数」と答えます。
 大きな数の計算はめんどうです。めんどうだけならまだいいのですが,間違いが多くなります。だから大きな数の計算は避ける。そのためにはかけ算は後回しにする方がいいのです。かけ算をすると大きな数になるからです。(もちろん,1/3のような1より小さな数をかけると小さくなりますが,それは別にして)

 だから,上の場合
 (21×36)/28 21と28 をまず7で約分する。すると3と4になります。そして36と 4を約分する。すると分母は1で,分子は,3と9が残り,3×9で答えは27。これなら暗算でできます。

 ぼくは,複雑な計算では,かけ算はかけ算のままで書いていて,最後にどうしようもないときに計算をするようにしています。

 かけ算は後回しにする,ということは教えてやらないと,身に付かないようです。なぜなら先にやっても答えは求めることができるからです。

(2a + 4b)/2 を約分する
 (2a + 4b)/2 を,片方だけ約分して,a + 4b にする子がとても多いです。

 先日は,二次方程式で (2 ±√7)/2 までできているのに,わざわざ約分して
 1 ±√7 にしてしまった子がいました。正に蛇足です。

 なぜそうなのか,タイルで説明する方法を思いつきました。

 文字式をタイルで表す方法は以前にも書きました。

タイルで,文字式を教える


 2a + 4b を2で割るのをはタイルで表してみます。

 aのタイルが2本,bのタイルが4本です。それを2つに分けるのですから,次の用になります。
文字式と約分



 さて次は,2a × 4b/2 です。これをたし算でやるように2カ所約分して,
a × 2b=2ab としてはいけません。

 なぜか。それもタイルで表すと一目瞭然。
 かけ算は長方形のたて,よこ,そして面積で表すことができます。
文字式と約分,かけ算


 かけ算の場合は,1カ所だけを約分するのです。このあたり迷う生徒がいるので,タイルはかなり有効です。


タイルで10進法を理解する
 「水道方式」で,まずすごいと思うのは,タイルによる10進法の説明です。これはとても理解しやすいです。視覚的にいい。数の多さがタイルの大きさにそのまま反映するのです。

 1×1のタイルを1とします(□)。それが3つで3(□□□)。
 もちろん,それが10個だと10。

 その10個のタイルの境目をのぞくと10のタイル1本になります。
 小学1年生に初めて教えるときは,タイルのようなチョコレート10個をたてに並べ,それを紙で包みます。すると境目が見えなくなりますが,10個のタイルと変わりないことが理解できます。

 10のタイル3本と1のタイル6個だと 36 。
10notairu



 その10のタイルを10本並べて境目を消すと100のタイルができます。10×10のタイルです。
100のタイル


 この100のタイルを10枚たてに並べると1000のタイルになります。それは長いので巻いてしまいます。これに触れたときは,「よくこんなこと考えるなあ」と感心したものです。
1000のタイル


 このようなタイルを用いると10進法がとてもよく理解できます。 

小数をタイルで表す
 前に「タイルで10進法を理解する


 を書きました。タイルによる10進法は,整数だけではありません。小数にも使えるのです。整数でだいたい理解していただいたので,簡単に説明します。もちろん生徒への説明はもっとていねいですが。

 1を10に分けた1つが0.1,それを10にわけ0.01・・・というものですから,タイルは次のようになります。

小数のタイル

 だから,4.365は次のようになります。

4.365


 タイルの便利さ,実感していただいたでしょうか。
 ぼくは最初にふれたとき,感動したものです。そしていま子どもたちにタイルを使って指導していますが,とても教えやすいです。

「田の字表」の特長
※ かけ算か、わり算か、迷わない
 生徒は、文章問題を解くときに「これ、かけるの?わるの?」と質問します。それを考えるのが、あなたたちの仕事だろう、と言ってきたのですが、それが簡単に分かればそれにこしたことはありません。
 この『田の字表』を使えば、かけるのか、わるのか、つまり、かけ算の問題なのか、わり算の問題なのか、まったく考えなくても解けるようになります。そういう意味で画期的方法です。
 『田の字表』の解き方
①横(行)は単位をそろえる,縦(列)は対応する値を書く,
 ということで『田の字表』を整理する。
②それをたすきにかけて方程式を作る。
③それを解く
 簡単な方程式を解くことができれば、ほとんど悩まずに問題を解くことができるのです。

※ 意味も理解して問題を解く
 最近は、「みはじ」や「はじき」という方法で、速度の問題を解かせる方法がよくやられていますが、それは、意味も分からずに使っているものです。
 それに対して『田の字表』は、意味もきちんと理解しながら問題を解いていきます。機械的な方法ではありますが、表を整理する中で問題の意味が分かってくるのです。
 「4秒間で12m進むロボットの秒速は」の問題では
次のような表になります。
田の字表

 これを記入すると,
 4秒間 → 12m
 1秒間 → xm
ということを意識します。1秒間あたりの距離が速度だということの理解が深まるのです。
 単位あたり量の意味のほか、百分率の意味、比の意味も、問題を解く中で理解が深まってくるのです。


※ 応用範囲が広い
 学校で学ぶ公式は、ひとつでひとつにしか使えません。例えば、速度=距離÷時間 という公式は、速度の問題にしか使えません。圧力の問題では別の公式(圧力=力÷面積)を覚える必要があります。
 また、「みはじ」や「はじき」という方法も、速度の問題にしか使えません。それに比べると、『田の字表』は応用範囲が広いのです。
 目次をごらんになれば分かりますが、『田の字表』で解ける問題は、速度、圧力、密度などの単位あたり量の問題のほか、濃度、湿度などの百分率(%)の問題、相似,三平方の定理や定比例の法則などの比例の問題にも使えます。
 一次関数や二次関数の式を求めるのにも使えるのです。

※ 比例式より使い勝手がとてもいい
 この『田の字表』の解き方をみた人の中には、「なんだ、比例式の解き方ではないか」と思われる方もいらっしゃるでしょう。確かにそうです。この『田の字表』の解き方は比例式の解き方と基本的に同じです。考え方はまったく同じと思って差し支えありません。
 しかし、『田の字表』の方が比例式よりずっと使いやすいのです。

※ 比例式より対応関係がわかりやすい
 例えば「水素と酸素はつねに質量比1;8で化合する。酸素20gに対して水素は何g化合するか」の問題で、比例式だと 1:8=x:20 になります。左の比に、質量比の1:8を書くのはいいとして、左の前項と右の前項、左の後項と右の後項を対応させて順序よく書かなければいけません。つまり、1:8=20:x と逆に書いてはいけないのです。
 慣れている人にとってはたいした問題ではないでしょうが、中学生にとっては少し離れたところにあるものを対応する順に書く、というのはけっこう難しいのです。
 その点、『田の字表』だと、横同士、たて同士を対応させるように書けばいいので、楽にでき、間違いも少ないのです。

※ 方程式にもっていくのが楽
 比例式で解く場合、内項の積=外項の積 で方程式を作ります。
4:1=20:x から 4x=1×20 で式を作るのです。さて、この「内項の積=外項の積」というのを身につけさせるのが一苦労です。
 以前,塾では『田の字表』から比例式を作らせ、それを方程式にするという方法で解かせていたのですが、よく理解できないようで、間違いも多かったです。
 内項の積=外項の積が『田の字表』を斜め同士の積(たすきにかける)と同じだと気づいたので、それで指導しました。すると生徒はとても楽にできるようになりました。かけるの記号(×)とたすきが似ているから分かりやすいところもあります。

 ある意味で、これまで比例式で解く方法を『田の字表』で解かせているというだけのことではあります。ただ、それだけのことで中学生でも楽に解くことができるようになった、という点でとても画期的な方法になったと思っています。

「切り捨て」「切り上げ」の意味
 小学4年生は,いま概数(およその数)の学習をしています。けっこう苦労しています。

 さて,ぼくが小学のころ,切り捨てを学んだとき,すぐに操作方法を学んだように記憶しています。
 345を切り捨てて100の位に数にするときは,10の位と1の位をすてて0にするんだよ,というように。
 小学生のころは素直だったので,なぜこんなことをするのか考えもせずに「は~い」とばかりに,せっせと切り捨てをしたように思います。

 さて,いまぼくは次のような問題をさせることから始めています。

【問1】 みかんが37個あります。10個ずつふくろに入れます。
(1) ふくろはいくつできて,みかんは何個あまりますか。
   式      (    )ふくろ, (    )個あまる
(2) ふくろに入れられたみかんは何個ですか。  (    )個

 つまり,ふくろに入れられるみかんの個数は「切り捨て」をした個数になるのです。10個ずつのふくろに入れるのだから,7個は捨てるしかない(実際に捨てる必要はありませんが)。


  切り上げは,次のような問題で始めます。

【問1】 萌子さんのクラスは23人です。クラスでお楽しみ会をすることになり,萌子さんはドーナツを買いに行きました。ドーナツは1ふくろに10個ずつ入っています。「1人に1個ずつあたること,あまってもいいが,足りなくなってはいけない」と言われています。萌子さんは何ふくろ買えばいいですか。 それはぜんぶで何個入っていますか。
(   )ふくろ=(   )個

 ドーナツは,10個入りです。ばら売りをしてくれないのなら,23人であっても30個分を買ってこなければいかないのです。あまった7個をどう使うかは分かりませんが。

 「切り捨て」「切り上げ」ってこういう意味なのです。ただの数の操作ではなく,実際に必要な操作なんですね。

数学は暗記か?
 野口 悠紀雄著 超「超」整理法 を読みました。



 その中に次のような箇所がありました。


 大学教養課程の数学のクラスで聞いた「数学は暗記だ」というS助教授のー言が、数学に対する私の考えを根本から変えた。第1章の3で、このように述べた。その背景を説明しよう。

 高校生の時、私は「数学を理解しなければならない」、また「問題の解法は自分で考え出さなければならない」と、無駄な努力をしたと思う。「解き方を覚えて先に進んでよいのなら、もっと簡単なのに」と考えていた。

 しかし、教師は「理解してから進め」と言う。したがって、私は「理解しなければならない」という強迫観念に悩まされ、そうしない時には、罪悪感を持った。いまにして思えば、理解しないで進んでも問題はなかった。実際、先に進んでいれば、上から見渡せる。上から見れば、いろいろなことが簡単に理解できる。あるいは、理解すべきことと、しなくてもよいことの区別がつく(実際、厳密に言えば、公理系として決めていることは、もともと理解できるはずがないのである)。

 教師はまた、「人の真似をするのでなく、自分の頭で解き方を考え出せ」と言う。だから、私は、「教科書に書いてある解き方を見る前に自分で考えなければならない」という強迫概念に悩まされ、そうできない時には劣等感を覚えた。しかし、いま思えば、教科書の方法を覚えるだけで先に進んでもよかった。なぜなら、多数の問題の解き方を見てそのパタンを覚えてしまえば、たいていの問題はその応用として解くことができるからだ。それに、最初にその解法を考え出した人は、長い時間と試行錯誤の末に成功したのに違いない。そうした先人の労苦はありがたく利用すればよいのであり、同じ苦労をすべての生徒が繰返す必要はない。

 だから私は、いまでは「理解せよ」「自分で考え出せ」という注意は誤りだったと、自信を持って言える。それにもかかわらず、いまだにそうしたことを言って、数学嫌いの生徒を大量に生産している教師がいる。「分からなければ、あるいは自分で考え出せなければ、暗記してしまえばよい。気にせずに先に進もう。そうすれば、いずれ分かるだろう。また、解き方を覚えているだけでも、ほとんどの問題は解ける」と、なぜ言ってくれないのだろう。「理解せよ」「自分で考え出せ」と言い続ける教師に対して、私は、「あなたは本当に理解したのですか? 教科書を見ずに、本当に自分の頭だけで解き方を考え出したのですか?」と詰問したい気持ちだ。(p214~215)



 和田秀樹氏の本に「数学は暗記だ」というのがありました。だいぶ前に読みました。
 いま検索してみると,和田 秀樹 (著) 「難関大学も恐くない 受験は要領―たとえば、数学は解かずに解答を暗記せよ (PHP文庫) (文庫) 」というのもあります。

 二人とも,この「理解せよ」と「自分で考え出せ」が完全にリンクていて,ほぼ同意義に思っているように感じます。

 ぼくはそうは思いません。ぼくは,先人の考え出したことを「理解せよ」そして「暗記せよ」だと思っています。

 野口氏が書いてあるように,一つ一つの解法は先人が苦労し,長年かけて考え出したものです。凡人が短時間に考え出せるものではありません。だから,先人がどのようにして考えたのかを読んで,それを理解することが大切です。それを自分で考え出すように指導するのは間違いでしょう。ただ,先人がたどった考えをそれにそって自分もたどって理解するというのは大切なことです。

 そして,それを理解できたら,それを暗記します。理解してから暗記するというのはまた大事なことです。

 そして,次は類題を自分で解いてみるということがまた大切です。
 数学は暗記だ,ということが先走りすると,類題もせっせと暗記してしまうということになりかねません。その類題が自分で解けないときは,解答を見て,それを理解し,暗記するようにします。

 ぼくは,野口氏も和田氏も,まったく理解を無視し,数学は暗記だ,といっているのではないのではないか,と思います。彼らは頭のとてもいい人です。だから,授業の中で説明されたことはすぐに理解できるのでしょう。そして,その後は問題の解き方を暗記するということだと思います。自分が楽に理解していることは「あたりまえ」だと思って飛び越して主張してしまう。

 しかし,それが理解できない人をぼくは何人も指導してきました。

 だから,文章問題でたし算のものをかけ算で解こうとしたりします。そういうのは解法を覚えるより,たし算,かけ算の意味をきちんと理解させなければいけません。

 数学は暗記だ,ということで教育が行われると,

 三角形の面積は,底辺×高さ÷2だ,それをとにかく覚えなさい,ということになるでしょう。

 ぼくはそうではありません。ぼくは,なぜ,そのような式で面積を求めることができたのかの説明から入ります。そして,三角形の面積は,底辺×高さ÷2で求めることができることを理解した上で,その公式を覚えて,面積を求める問題に入っていきます。

 なお,それが理解できなければ,一応おいておいて,ただ暗記し,先に進むというのも必要なことです。野口氏も書いていますが,後で振り返ると楽に理解できるということもあります。

PDF(三角形の面積)
 三角形の面積もただ公式を教えるだけではなく,なぜそのようになるのかを教えて,納得させるということを前に書きました。

 ぼくのテキストで「三角形の面積」の公式の導入をどのようにしているのかをここに紹介します。

 PDFによる初めての公開です。うまくいくかどうか。

 次の「三角形の面積」をクリックしてください。
そして,次に「三角形の面積を求める公式 」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。


三角形の面積

 自分のPCではうまくいったのですが,どうなのかまだできるかどうかはっきりしません。

概数のイメージ
 4年生は「概数(およその数)」の学習をやっています。終わった生徒も数名。

 さて,切り捨て,切り上げ,四捨五入を次のようにイメージさせるとけっこうスムーズに理解してくれます。

 切り捨ては,左側が坂になった図を描きます。切り上げは右が坂です。
 そして,四捨五入は頂上の両側に坂がある。
 その途中におちたら坂の下までボールが転がるというイメージです。図を見たら分かりますね。
概数

 なお,次のPDFファイルをクリックして,あらわれたページの概数をクリックし,ファイルを開くとぼくのテキストの一部が見られると思います。

PDFファイル

小さい正の数から大きい正の数を引く意味
(+3)-(+5) のような小さい数から大きい数を引く計算の意味を考えてみましょう。

 3から5はひけないではないか,と普通考えます。

 たぶんほとんどの教師は,引き算はたし算に直し,引く数の符号を変えるのです。そのように覚えましょう,ということで意味の説明はしていないのではないでしょか。もちろんそれでできます。できればいい,というならそれでいいのですが,やはりなぜそうなるのか,教えてあげたいです。

 ぼくは次のような説明をします。

 財布の中に3万円入っています。5万円のものを買いたい。だから,さいふから5万円とりたいのですが,3万円しかないのでとることはできません。

 どうしますか。2万円借金するのです。2万円借金するとさいふのお金は5万円になりました。その5万円をさいふからとって,5万円のものを買います。さいふには何がのこるでしょうか。2万円の借金ですね。

 だから,

 3万円-5万円=3万円+{2万円+(-2万円)}-5万円=-2万円 になるのです。

 なお,これはけっこうめんどうな理屈で,中学生には難しいです。だから,100%の理解はなくても,ぼくは先に進みます。

 ぼくのテキストのそのページをPDFファイルでアップしました。
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そして,次に「4小さい正の数から大きい正の数を引く意味 」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。

PDFファイル

アマゾン,本のベストセラーで1位
 いま見たらアマゾンの

本のベストセラー
指定なし > 本 > 教育・学参・受験 > 中学生 > 数学 > 1年生 > その他学参

 で,ぼくの「わかる解けるできる中学数学1年」が1位になっています。すぐに落ちるかもしれませんが,1位はうれしいです。

指定なし > 本 > 教育・学参・受験 > 中学生 > 数学 > 1年生 > その他学参

小さな負の数から大きな負の数を引く(意味)〕
 前に「小さい正の数から大きい正の数を引く意味」を書きました。

 きょうは, (-3)-(-5)のように、小さな負の数から大きな負の数を引く計算の意味を考えてみます。

 ぼくは,それの説明のために,お父さんがバカ息子の借金を肩代わりすることを考え出しました。息子がいくら借金しているか分からないお父さんは,「5万円分はおれが借金を肩代わりしてやろう」と言います。
 実は息子の借金は3万円だけ。5万円借金を肩代わりしてくれるのならあと2万円借金できるではないか,とサラ金から2万円借金します。すると2万円の現金と2万円の借用証書が新たに入り,合計で,2万円の現金と5万円の借用証書が息子は持っています。

 それで,「お父さん,では5万円の借金はよろしくお願いします」と借金を肩代わりしてもらう。
 すると,2万円の現金が残るのです。

 だから, (-3)-(-5)=+2 ということになります。

 ぼくのテキスト「わかる解けるできる数学1年」のそのページをPDFファイルでアップしました。
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PDFファイル



 

中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる
中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる!




 「中学数学・理科が「田の字表」なら解ける・わかる・点がとれる」の出版に向けて,いま校正作業に励んでいます。大切な作業ですが,おもしろくない作業です。

 さて,アマゾンをのぞいてみると,いま校正作業をしているその本の紹介がもう掲載されているのですね。近日発売,予約受付中とのことですが,気の早いものです。ぼくの本は予約する人はいないでしょうが,有名作家の本はこのような気の早い紹介を見て予約する人がいるのでしょうね。

 いずれにしろ,自分の本の紹介が載るというのはうれしいことでう。

三角形の合同条件
 三角形の合同条件がありますね。

1,3辺がそれぞれ等しい。
2,2辺とその間の角がそれぞれ等しい。
3,1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
4, 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
5, 直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい


 もちろん,それはそのまま覚えてもらわなければいけません。しかし,指導,学習するときには,簡単に次の言葉と用いています。

1,3辺がそれぞれ等しい。 → 辺辺辺
2,2辺とその間の角がそれぞれ等しい。 → 辺角辺
3,1辺とその両端の角がそれぞれ等しい  → 角辺角
4, 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい → 直角斜辺辺型
5, 直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい → 直角斜辺角型

そして,それぞれに「型」をつけて,辺辺辺型, 辺角辺型, 角辺角型などと呼びます。

 簡単でしょう。こうすると,
  ∠A=∠D,∠B=∠E,AB=DEの三角形は,何型? のような問題をまとめてさせることができます。あの長い文をすべて書かせるのは生徒がかわいそう。覚えさせるためにはいいでしょうが,これはよく使われるのですぐに覚えます。

 PDFファイルにそのページをしめしました。
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そして,次に「9三角形の合同条件」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。

PDFファイル

 短くなって楽になっただけではありません。
 角→辺→角の順に等しいので,これは角辺角だ,と見分けやすいです。指導もしやすいです。ぜひお試しを。

 これは,旧版の麦の芽出版「楽しい数学」にあったように思います。  

合同条件「2辺と1角」ではだめな理由
 三角形の合同条件に「2辺とその間の角が等しい」というのがありますね。

 あれは,必ず「その間」でなければいけません。単に「2辺と1角」ではいけないのです。
 それを生徒に納得させるために,次のような三角形を2種類描かせます。

【問1】 1辺(AB)が2.5cm、他のl辺(BC)が4cmで、∠Cが30°の三角形は2種類できます。2種類とも描きなさい。

描き方も次のように書いてあるのですが,けっこう難しいようです。
 ①辺BC(4cm)を引く。②∠C(30°)を図り、辺CAを長めに引く。
③コンパスで、点Bを中心にし2.5cmの弧を描き、直線ACとの交点を求める。
 ④交点が頂点A。AとBを結ぶ。
(2種類描くには、弧をぐるりと長く描くこと。すると、直線ACと2箇所で交わります)

 答えは次の通りですね。

henhenkaku.jpg


 この2種類が目の前にあると,角は2辺の間でなければいけないことが明白です。子どもたちも納得します。

 その後で,「2辺とその間の角」が等しい三角形数種と,「2辺とその間ではない角」が等しい三角形の中から合同な三角形を見つける問題をさせます。「合同な三角形がない場合は×を書く」ということにして。

等しい分数
 等しい分数

 分数を表すときに,丸いケーキをいくつかに切るということで教えている人も多いと思います。

 半分に切ったひとつ分を2分の1,3つに切った1つぶんを3分の1といいます,のように。

 一方,水道方式では,正方形のタイルを用います。それを2つに切った1つ分を2分の1とする,など。

 ケーキの方が日頃の生活の中ではよく用いられるので理解しやすいかもしれません。

 しかし,これから書くことはタイルにしかできないでしょう。丸いものではできません。

 タイルをたてに切って5等分します。そのうちの2つ分が5分の2です。

 さて,それをそのまま横に2等分します。するとたては5等分,横は2等分なので全体では10等分。そのうちの4つになるので,10分の4になります。

 どちらも同じ大きさです。

 だから2/5=4/10 だということが分かります。

 同じように横に3等分すると
2/5=6/15 ということが分かります。

hitosiibunsuu.jpg


 PDFファイルにそのページをしめしました。
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そして,次に「10等しい分数」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。

PDFファイル

体積の導入
 小学6年生では,体積を学びます。

 直方体の体積は,たて×横×高さ という公式から導入している人も多いのではないでしょうか。

 たぶん,大昔の人は,肉の大きさや魚の大きさを直接比べて,どちらが大きいかを判断したのではないでしょうか。

 粘土のかたまりを比べて,「こっちの方が大きいよ」という,それが体積の始まりでしょうね。
 だから,ぼくはまずは見た目で比べるのから入ります。

 見た目では,どれだけ大きいのかが分かりません。

 粘土の場合,それを同じくらいの大きさに小さく丸めて,その玉が何個あるかということで,大きさを比べることができます。
 Aの粘土は,5個の玉になった。Bの粘土は3個になった。だから,Aの方が2個分大きいのだというふうに。

 玉ではなく,小さな立方体に分けて考えることもできます。

 そこで,たて,横,高さとも1cmの立方体を考えます。それを1c‰としたのです。その1c‰の立方体がいくつあるかということで体積を考えます。
1c‰が2こで2c‰、3こで3c‰、4こで4c‰というふうに。

 立方体が何個あるかを数えれば,その体積を求めることができるのです。

 次にこの立方体で直方体を作ります。まずは1段の直方体。すると,たての数×横の数 で体積を求めることができます。

 次はそれが数段積み重ねた直方体です。1段の直方体は たて×横 ですから,それが何段かを書ければ個数を求めることができます。
 だから,立方体の数は,たて×横×高さ になります。

 このようにして,立方体の数で体積を求める公式を導いていくのです。

 「プログラム学習算数小学6年」の体積の数ページを,PDFファイルにしました。
 ご覧になりたい方は,次の「PDFファイル」をクリックしてください。
そして,次に「11体積」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。

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プログラム学習算数小2の解答もできる
 プログラム学習算数小2の解答も仕上げました。これで,解答なしはなくなりました。

 小2は少なく,というより現在4年生の子が2年前に入っていただけですが,そのときに算数の教材を作りました。解答は作らず,ぼくと妻が暗算で調べるというようにしてチェックしていました。その子がやったテキストを見ながらワープロ打ちして「解答集」を作りました。

 間違えているのに,○にしているのもいくつか見つかりました。すべてをチェックしたのではないので,間違えたままワープロ打ちしたのもあるかもしれません。きちんとチェックしなければ。
  

立体の高さ
 高校入試向け数学に次のような問題が出ますね。

「 次の図のように1辺の長さが6cmの立方体を3つの頂点A,C,Fを通る平面で切り取ってできる三角すいについて,次の各間いに答えよ。
sannkakusuinotakasa.jpg

(1)△ABCの面積を求めよ。
(2)この三角すいの体積を求めよ。
(3)この三角すいで,△ACFを底面としたときの高さを求めよ。」


 これは,△ACFの面積を求め,高さをhとし,hを用いた三角すいの体積と,(2)で求めた体積をイコールで結んで方程式を解いて求めることができます。

 さて,ぼくがここで書こうとするのは,このような問題を理解させるためにどう指導するか,です。

 ぼくは,次の問題をさせます。これは小学五年の問題です。

 
 「3辺の長さが3cm,4cm,5cmの直角三角形があり,5cmを底辺としたときの高さ(x)を求めなさい。」
sannkakkeinotakasa.jpg


 小学生の問題なので,中学で学ぶ相似の知識などを用いたらいけないとします。

 これはけっこう難しい問題です。方程式が解けない小学生によくこのような問題を出すなと思っています。

 それはいいとして,

 3×4÷2=6cm² で三角形の面積を求めます。

 底辺が5cm,高さがxcmとして求めても同じ答えになるはずです。

 だから,
 5××÷2=6 の方程式を解けばいいのです。

 要するに,
 同じ面積を二通りの方法で求め,それをイコールで結んで方程式を作ります。
 それを体積でやるのが 一番上の問題です。
 
 体積より面積の方がわかりやすいので,まず面積でやってから体積にもってくれば理解しやすいということです。

あまりをどうする
 小学4年の算数の問題に,
 214この荷物があります。1回に8こずつのせられる車で、この荷物を全部運ぶのに,何回運ばなければいけませんか。

 214÷8=26・・・6 26回運んで6こあまっています。6このためにもう1回運ばなければいけないので,答えは 27回ですね。

 これがなかなか理解するのが小学生には難しいのです。何度説明しても納得できないようです。イメージができずただ数だけで計算するところがあるからです。
 だから,26あまり6 という計算結果が出ると,一番多いのは,そのまま
 26回あまり6こ と書く子です。それでダメだと言うと, 26+6 で32回と答える。とにかく26と6という数字を使わなければいけないと思うのでしょう。

 それで,比較的理解しやすい,あまりを捨てるという問題からさせます。

【問1】 萌子さんの家はお菓子屋さんで,萌子さんは店の手伝いをしています。14こドーナツがあります。3こずつふくろにつめていきます。いくつのふくろができますか。amariwosuteru.jpg


 14÷3=4あまり2 答えは4ふくろです。あまった2こは使えません。

 それを図に表してヒントにします。

 これもけっこう難しいです。しかし,なんとか理解してくれます。

 そして類題を解かせます。

 次に,
【問1】 重い本(百科事典)が14さつあります。賢也くんは1回で3さつ運ぶことができます。この本を全部運ぶには何回かかるでしょう。

amariwohirou3.jpg


 という問題を次の絵入りで与えます。絵をきちんと見てくれたら理解できるはずなのですが,それが難しいですね。分からないので習いにきて,一つ一つの絵を見ながら考えさせます。絵を説明するというより,これはどうなっているのか,子どもに絵を見ながら説明させる,ということで理解するようにします。絵を見ながらなんとか理解してくれます。

 それでも理解できない子がいます。そういう場合は,紙切れを14枚準備し,「これは重い本だよ。1回に3冊しか運べない。じゃ,ここまで運んでごらん」と言って,紙片を移動させます。それでなんとか理解してもらえますが,それでも???という子もいますね。


 文章問題をイメージしながら解くという力を養うとてもいい問題だと思います。

 「プログラム学習算数小学6年」の体積の数ページを,PDFファイルにしました。
 ご覧になりたい方は,次の「PDFファイル」をクリックしてください。
そして,次に「12あまりをどうする」をクリックし.そして「ファイルを開く」をクリックしてください。

PDFファイル

何が欲しいのか
 数学の証明や図形の問題などで,何が欲しいのかを考えるのは大切なことです。

 生徒が解くのをみたら,何気なく与えられた図形や数値をながめてそれでもって,どうしようかうろうろしているということがよくあります。

 例えば,三角形の合同を証明する問題で,
 1辺と1角はそれぞれ等しいことはすぐに分かったとします。

 となると,その1辺の別の端の角が等しければいいのになあ
 または,1角の別の端の辺が等しければいいのになあ,

 ということになります。

 ぼくが今回言いたいのは,この何が欲しいのかをはっきりさせることです。

 この角が等しければいいのに,と思ったら,それが等しいかどうかを考えます。ただばくぜんと考えるのではなく,何が欲しいのかをはっきりさせるということです。

 図形の面積を求める場合もそうです。入り組んだ図形が与えられていて,△ABCの面積を求めなさいという問題がよく出題されます。

 三角形の底辺は分かったとしましょう。
 三角形の面積は,底辺×高さ×1/2 だから,高さが分かればいいのになあ,というところまで来なければいけません。

 そは,この高さはどうすれば求めることができるかを改めてじっくり考えるのです。そこで,三平方の定理や相似の知識を用いて高さを求めようということになります。

 だから,ぼくは,「はい,ここであなたは何が欲しいの?」と質問するのです。

1,目的は何かをはっきりさせる。例えば,△・・・と△・・・の合同の証明,面積を求める,など。

2,その目的を達するために必要なものは何かをはっきりさせる。

 そのような考え方が必要だということを子どもたちに教えることが必要ですね。

わかる解けるできる中学数学2年
 の「どの条件を加えるか」のページを,PDFファイルにしました。
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タイル方式はおすすめ
ちゅけママさんから,コメントをいただきました。

ちゅけママさん,ありがとうございます。

名前:ちゅけママ
タイトル:タイル方式
********************
質問させて下さい
今年小学校になる子に(数字が苦手なようです)数 をわかりやすく教えてあげたいと思うのですがタイル方式な オススメでしょうか…ちなみに教えてあげるママ(私)もタイル方式初心者です…


 結論を先に。
 「とてもおすすみです。指導者が初心者でも大丈夫です」

 極端な話から。
 このタイル方式(水道方式)を考案した遠山啓氏は,知恵遅れの子にもこの水道方式で指導しています。
 知恵遅れの子に理解しやすいのは,頭のいい子にとっても理解しやすいということです。

 ぼくは以前,精神薄弱者厚生施設に勤めていました(いまは「精神薄弱」という言葉は使わないよ,とセルフの卒業生に指摘されたことがありますが,以前はそういっていたのでそのまま使います)
 そこで,タイルを使って算数を教えました。ゆっくりゆっくりではありますが,理解してくれました。

 要するにぼくのいいたいのは,数が苦手な子だからこそ水道方式(タイル方式)なのです。

 指導者は水道方式について詳しく知っていればそれに越したことはありません。しかし,子どもといっしょに学べばいいのです。いっしょに学んでいてもお母さんの方が理解が深いでしょうから,子どもがつまずいたときにちょっとアドバイスをするという程度でいいのではないでしょうか。

 そして,低学年ほどタイルを実際に手で操作をしながら理解するということを重視しましょう。手作りのタイルでいいです。
 
 実際にどうするかですが。小学2年以上の教材はぼくが作ったのがありますが,気軽に使える教材はいま見あたりませんね。以前は,麦の芽出版から出ていたのですが,つぶれてしまったようです。

 研究会もあるようですが,その方面について,ぼくはよく分かりません。

 とりあえず,これだけお答えいたします。また,気軽にご質問ください。

2点を通る直線の式
2点を通る直線の式を求めなさい,のような問題はよく出題されます。

 多くは,連立方程式を作って,求めます。

 ぼくは少しちがいます。対応表を作って,それで変化率を求めるのです。その方が楽でなので,生徒にはそれを勧めています。

 例えば,2点をA(2,4),B(4,10)とします。
 次のような対応表を作り,x,yの変化分(増加量)を求めるのです。

taiouhyou.jpg
 そして,変化率=yの変化分/xの変化分 なので

  6/2=3

 この場合,上下が逆になるので注意する必要があります。
 ただ,学校でも,変化率=yの変化分/xの変化分 というのはよく学んでいるので,それを思い出させながら,「分母の方がxの変化分だよ」ということを強調します。(変化分,増加量など言い方はいろいろです。)

 切片は,ふつうに,代入をして求めています。連立方程式のbの求め方と同じです。

 これを「田の字」を使って求めることはできます。しかし,簡単とはいえないので,田の字ではなく,上の方法がいいですね。田の字の本には求め方を紹介しました。 

かけ算のイメージ
 たぶん,もうすっかり当たり前になっているので,みなさんはびっくりしないでしょうが,ぼくが水道方式の学習書,麦の芽出版の「たのしいさんすう」のかけ算の導入に出会ったときはすごく感動しました。

 ぼくが小学校のときに習ったのは次のようだったと記憶しています。

 3×1=3
 3×2=3+3=6
 3×3=3+3+3=9
 3×3=3+3+3+3=12

 というように,たし算で教えていくものです。これはこれで間違えているわけではありません。また役にも立ちました。3×4=12 だから,3×5は,12に3を加えればいいというのが分かるからです。

 さて,水道方式ではどのように導入しているかというと

 三輪車が1台で,車輪は 3つ
 三輪車が2台で,車輪は 6つ
 三輪車が3台で,車輪は 9つ
 三輪車が4台で,車輪は 12つ

 どうですか。すごくイメージがわくではありませんか。また,単位当たり量といくつ分というのもはっきりします。
 2のだんは,うさぎの耳
 4のだんは,くるまのタイヤ
 5のだんは,ての指
 6のだんは,昆虫の脚
 7のだんは,七星てんとうむし
 8のだんは,たこの脚
 9のだんは,野球の選手
 1のだんは,一輪車の車輪

 8×6がでてこない子どもには「たこが6ひきいます。あしは何本?」といえば,なんとか答えを出してきます。

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へびが3匹,脚は何本?
 きのうは,かけ算のイメージをかきました。

 そのときに,特にユニークでおもしろいと思ったのが,0の段です。

 へびが1匹,脚は何本?へびには脚がないから0本。だから  0×1=0
 へびが2匹,脚は何本?へびには脚がないから2匹でも0本。だから  0×2も0
 へびが3匹,脚は何本?へびには脚がないから3匹でも0本。だから  0×3も0

 すごいと思いませんか? ぼくは感動しました。

 かえるのおへそでもかまいません。しかし,かえるにおへそがあるかどうか知らない子がいるので,それを教えながらでないと,話が進みません。

 0の段ほどではないのですが,1の段もおもしろいです。

 ぞうが3頭。鼻は何本? ぞうには鼻が1本なので,3本。だから1×3=3

 0の段と1の段を間違える子が中学生の中にはいます。いろいろ習っているうちに混乱するのでしょうね。

 0×3=3 のようなことをする子には,
 「へびが3匹。しっぽは何本?」と質問します。すると,すぐに気づいてくれます。 

0でわる
  0でわることについては以前にも書きました。
 ただ,きのう,おとといの記事の流れから書いてみます。こちらの方が理解しやすいかもしれません。

 馬がいます。脚は1頭につき4本ですね。脚が12本あります。馬は何頭いるでしょう。

 12÷4=3 で3頭ですね。こういうのはわり算をすればいいのです。

 全体量÷1あたり量=いくつ分 ですから。

 では,

 12÷0 というのはどういう場合の式でしょう。

 それは,次のような場合です。

 へびがいます。脚は1匹0本。脚が12本あります。へびは何匹いるでしょう。

 どうですか。へびが何匹集まれば脚は12本になりますか。へびの脚は0なので,100匹集まろうが,1000匹だろうが,世界中のへびを集めても12本になりません。

 だから 12÷0 に答えはないのです。そういう式自体がナンセンスなのです。

 では,0÷0 はどうでしょうか。 

 馬がいます。脚が0本あります。馬は何頭いるでしょう。

 0÷4=0 です。0頭だと脚も0本ですから。

 0は何で割っても0だよ,などと教えています。
 0÷1=0
 0÷10=0
 0÷100=0
 0÷100000000000=0

 だから
 0÷0=0

 でしょうか。考えてみましょう。

 0÷0 というのはどういう場合の式でしょう。

 それは,次のような場合です。

 へびがいます。脚は1匹0本。脚が0本あります。へびは何匹いるでしょう。

 0匹だと脚も0本。 だから0÷0=0 
 正解な気がします。

 でも,でも

 1匹でも脚は0です。0÷0=1 でもいいのです。また,
 2匹でも脚は0です。0÷0=2 でもいいのです。また,
 3匹でも脚は0です。0÷0=3 でもいいのです。また,
 100匹でも脚は0。だから 0÷0=100 でもOK

 要するに,0÷0 の答えは何でもいいのです。1つに決まらないのですね。

弧を用いた扇形の面積
 扇形の面積を求める方法には,中心角を用いる方法と弧を用いる方法があります。ぼくの感じでは,圧倒的に弧を用いたやり方の方を用いた方が便利だと思われる問題が多いです。
 
 円錐の母線と底面積の半径が与えられ,表面積を求めなさいという問題がよくあるからです。ほとんどの受験生が中心角を用いた方法はなんとか覚えていても,弧を用いた方法は覚えていません。

 次の方法はある参考書で紹介されていたものです。子どもたちもすぐに納得してくれます。
ougigata.jpg

 扇形を描いてそれをさらに細かい扇形に分けます。ここでは11に。そしてそれを図のように組み合わせます。するとたては扇形の半径,横は弧の長さの半分になります。長方形の面積はたて×横 ですから,すぐに
 扇形の面積=半径×弧の長さの半分÷2 という公式を導くことができます。

 わかる解けるできる中学数学1年
 の「弧の長さを用いた扇型の面積」のページを,PDFファイルにしました。
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円周率の導入
 昨日は,扇形の面積について書きました。これから円の面積について書こうと思いますが,その前に円周率の導入について書きます。小学5年の内容です。

 まず,半径5cmの円とそれに外接する正方形を描いた図を見せます。正方形の周囲の長さを求めると40cm。だから円の周囲の長さは40cmより短いことが分かります。

 次に,同じ半径5cmの円とそれに内接する六角形を描いた図を見せます。六角形の周囲の長さを求めると30cm。だから円の周囲の長さは30cmより長いことが分かります。

enshuuritunodounyuu.jpg


 だから5cmの円の円周は,30cmより長くて40cmより短いということを導くことができます。
 ぼくのテキストでは,その後は学校の教科書にあるような手順で円周率を教えています。

 時間的に余裕があれば,半径の長さをいろいろ変えて,外接正方形と内接六角形から,円の周囲の長さは,直径の3倍より長くて,4倍より短いということを導くといいでしょうね。

 「プログラム学習算数小5」の「円の直径と円周」のページを,PDFファイルにしました。
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円の面積の求め方の導入

 円の面積を教えるときにぼくは次のようにしています。

 円を半径でいくつもに切り分け,それをたがいちがいにかみ合わせると、の図のようになります。
ennomenseki.jpg

長方形ですね。それのたては半径,横は円周の半分の長さだということを確認します。
 この段階で公式は

 円の面積=半径×円周の半分
             =半径×円周÷2


 それで,半径,円周の半分の長さを与えて,円の面積を求める問題をさせます。
そして,半径と円周を与えた問題をさせます。

 次は,半径だけを与え,まず円周を求めましょう,という問題をさせ,次に円の面積を求めましょう,という問題をさせます。

 その後,
 円の面積=半径×円周÷2で、円周=直径×3.14 ですから、
     円の面積=半径×直径×3.14÷2

 ということで,円の面積を 半径×直径×3.14÷2 とし,それを用いた問題をさせます。

 そして,最終の段階

 円の面積=半径×直径×3.14÷2で、直径=半径×2ですから、
  円の面積=半径×半径×2×3.14÷2 になります。 
  ×2 をして、÷2をすると、元にもどります。それで、

  円の面積=半径×半径×3.14


 そこまで細かくする必要があるかどうか,と思われるでしょうが,やはりなぜこのような公式が出てきたのかを理解させたいなあという気持ちですね。
 ただ,円の面積=半径×半径×3.14 だから覚えましょうというのは好きではないものですから。

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「田の字」で解けたよ
 きのう,中学3年生は学校で高校入試の模擬テストがあったそうです。

 Sくんが言いました。
「Yojiさん,数学,田の字で解けたよ」
 となりにいたYさんも
「Yもできたよ。
 それから,友だちに三平方の1:2:√3 を曲の字で解く方法を教えたら,便利だね,って感心していたよ」と付け加えました。

「そうか。ぼくとしてもうれしいよ」と応えました。

 受験勉強をする中で田の字を使って教えているので生徒もだんだん身に付いてきたようです。
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